matematica

Cap´
ıtulo 9
Extremos condicionados
Subvariedades diferenciables de Rn . Espacio tangente en un punto. Extremos condicionados: M´todo de los multiplicadores de Lagrange. Aplicaciones
e
geom´tricas.
e
El objetivo central del cap´
ıtulo es la optimizaci´n de funciones reales de varias
o
variables reales, f (x1 , x2 , · · · xn ), cuando las variables est´n sometidas a ligaduras:
a
g1 (x1, x2 , · · · , xn ) = 0, g2 (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0, · · · gm (x1 , x2 , · · · , xn ) = 0
En otras palabras, se trata de calcular los extremos absolutos o relativos (si existen) de f sobre el subconjunto M ⊂ Rn formado por los puntos que cumplen las
condiciones de ligadura. Cuando este conjunto tiene una estructura geom´trica aproe
piada, que se formula mediante la noci´n de subvariedaddiferenciable, el problema
o
se puede abordar con el m´todo de los multiplicadores de Lagrange.
e
Por ello el cap´
ıtulo comienza con el estudio de esta noci´n geom´trica que proo
e
porciona el marco natural para los problemas de optimizaci´n con restricciones de
o
ligadura en forma de igualdad. Despu´s de estudiar estos problemas se pueden abore
dar los de optimizaci´n con restriccionesen forma de desigualdad, de los que no
o
haremos el studio sistem´tico (con las condiciones de Khun-Tucker) que se puede
a
encontrar en textos m´s especializados como [10].
a
Cuando M ⊂ Rn sea un subconjunto definido mediante restricciones de desigualdad, el problema de obtener los extremos absolutos de f |M (que existir´n con segua
ridad cuando f sea continua y M sea compacto) se puedeabordar considerando por
separado la restricci´n de M al interior de M, y a su frontera. Lo primero conduce a
o
un problema ordinario de extremos sin ligaduras, que ya han sido considerados en el
cap´
ıtulo 5. La restricci´n de f a la frontera de M puede conducir a varios problemas
o
de optimizaci´n con ligaduras en forma de igualdad: Generalmente la frontera de
o
M no es ser´ subvariedaddiferenciable pero habitualmente, cuando M est´ definido
a
a
con un n´ mero finito de desigualdades, su frontera se puede descomponer en un
u
n´ mero finito de subvariedades diferenciables (de diferentes dimensiones). Entonces
u
la optimizaci´n de f sobre la frontera de M se podr´ atacar con el m´todo de los
o
a
e
multiplicadores de Lagrange sobre cada una de las subvariedades diferenciablesque
componen la frontera.
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Lecciones de Analisis Matematico II

9.1.

G. Vera

Subvariedades diferenciables

En esta secci´n se introduce la noci´n de subvariedad diferenciable de Rn , de
o
o
dimensi´n k, como un subconjunto M ⊂ Rn que localmente tiene una estructura
o
geom´trica similar a Rk . Esta estructura geom´trica local se puede describir bajo tres
e
e
formasequivalentes (teorema 9.4) que comenzamos definiendo de manera precisa.
Una de ellas se formula en t´rminos de la gr´fica de una funci´n diferenciable de
e
a
o
k variables independientes. En las gr´ficas de este tipo, seg´ n la costumbre habitual,
a
u
las primeras k variables son las independientes que desempe˜ an un papel especial.
n
Esta restricci´n artificial se elimina en la siguientedefinici´n considerando cambios
o
o
de orden en las variables, es decir cambios de variable lineales Tσ : Rn → Rn ,
Tσ (x1 , x2 , · · · , xn ) = (xσ(1) , xσ(2) , · · · xσ(n) )
asociados a permutaciones σ : {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n}.
Definici´n 9.1 Diremos que M ⊂ Rn admite una representaci´n expl´
o
o
ıcita de clase
C m y dimensi´n k < n, o que M es una gr´fica de esa clase ydimensi´n, si existe
o
a
o
una permutaci´n σ : {1, 2, · · · , n} → {1, 2, · · · , n} tal que M = Tσ (G(f)) donde
o
G(f) = {(u, f(u)) : u ∈ A}
y f : A → Rn−k es de clase C m en un abierto A ⊂ Rk .
Otra caracterizaci´n de las subvariedades diferenciables de Rn se expresar´ en
o
a
t´rminos de parametrizaciones regulares, que se definen a continuaci´n
e
o
Definici´n 9.2 Si ϕ : U → Rn es una...