Matematica

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CURSO DE METODOS DE LA F´
ISICA MATEMATICA
´
ANALISIS FUNCIONAL

H. FALOMIR
DEPARTAMENTO DE F´
ISICA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP

NOTAS SOBRE LA
´
TRANSFORMACION DE FOURIER EN L2 (R)

1.

Espacios Lp

El conjunto de funciones
b

(1.1)

Lp (a, b) :=

ϕ(x) :

|ϕ(x)|p < ∞

,

a

para p ≥ 1, constituye un espacio normado (de Banach) respecto de la normab

(1.2)

||ϕ(x)||p :=

|ϕ(x)|p

1
p

,

a

que a su vez determina la distancia
(1.3)

ρ(ϕ, ψ ) := ||ϕ − ψ ||p .

Desde luego que estas definiciones requieren la identificaci´n de aquellas funciones
o
que coinciden en casi todo punto con un mismo vector del espacio.
El teorema de Riesz y Fischer establece que Lp (a, b) es un espacio completo
respecto de esa distancia.Actualizado el 5 de febrero de 2008.
1

2

H. Falomir

2.

´
Transformacion de Fourier en L1 (R)

Dada una funci´n ϕ ∈ L1 (R), se define su transformada de Fourier como
o
∞

(2.1)

F [ϕ](σ ) = ψ (σ ) :=

dx
e−iσx ϕ(x) √ ,
2π
−∞

que es una funci´n acotada, continua y que tiende a 0 cuando |σ | → ∞ (Lema de
o
Riemann - Lebesgue).
En efecto:
Para todo σ ∈ R,
∞

(2.2)|ψ (σ )| ≤

dx
1
|ϕ(x)| √ = √ ||ϕ||1 ,
2π
2π
−∞

de modo que la integral en (2.1) converge absoluta y uniformemente en σ .
Si ϕn → ϕ en L1 (R) (es decir, si ||ϕn − ϕ||1 → 0 para n → ∞), entonces
sus transformadas de Fourier satisfacen
1
|ψn (σ ) − ψ (σ )| ≤ √ ||ϕn − ϕ||1 → 0
2π

(2.3)

para n → ∞ y ∀σ ∈ R. En consecuencia, la sucesi´n de transformadas
o
de Fourier convergeuniformemente en toda la recta a la transformada de
Fourier de la funci´n l´
o ımite.
Sea χ[a,b] (x) ∈ L1 (a, b) la funci´n caracter´
o
ıstica del intervalo [a, b],
(2.4)

χ[a,b] (x) =

1, para − ∞ < a ≤ x ≤ b < ∞,
0, en todo otro caso.

Su transformada de Fourier es
b

(2.5)

ψ (σ ) =
a

dx
i
e−iσx √ = √
e−iσb − e−iσa ,
2π
σ 2π

que es continua en toda la recta y tiende a0 para |σ | → ∞. Lo mismo
vale para la transformada de Fourier de toda funci´n escalonada en L1 (R)
o
(combinaci´n lineal de un n´mero finito de funciones caracter´
o
u
ısticas).
Puede demostrarse que el conjunto de las funciones escalonadas absolutamente integrables en la recta es denso en L1 (R), de modo que toda funci´n
o
ϕ(x) ∈ L1 (R) es el l´
ımite de una secuencia de funcionesescalonadas. En
consecuencia, su transformada de Fourier es el l´
ımite de una secuencia
uniformemente convergente de funciones continuas que tienden a 0 en el
infinito.
Por lo tanto, la transformada de Fourier de toda funci´n en L1 (R) es
o
continua y tiende a 0 para σ → ±∞.

La transformaci´n de Fourier
o

3

Tambi´n puede demostrarse que si la transformada de Fourier ψ (σ ) de una
efunci´n ϕ(x) ∈ L1 (R) es nula para todo σ , ψ (σ ) ≡ 0, entonces ϕ(x) = 0 en casi
o
todo punto.
Esto hace que la transformaci´n de Fourier sea un´
o
ıvoca. En efecto, si ϕ1 (x),
ϕ2 (x) ∈ L1 (R) tienen la misma transformada de Fourier ψ (σ ), entonces, por ser
F lineal, ϕ1 (x) = ϕ2 (x) en casi todo punto.
As´ definida, la transformaci´n de Fourier es una aplicaci´n lineal de L1 (R) en
ı
oo
el espacio de las funciones continuas que se anulan en el infinito. Pero no toda
funci´n con esas caracter´
o
ısticas es la transformada de Fourier de una funci´n en
o
L1 (R) (es decir, F no es sobreyectiva en ese espacio).
La transformaci´n de Fourier inversa corresponde a
o
F −1 [ψ ](x) = ϕ(x) = l´
ım

(2.6)

N

N →∞

dσ
eiσx ψ (σ ) √ ,
2π
−N

definici´n que s´lo valebajo ciertas condiciones de regularidad sobre ϕ(x).
o
o
Como la integral que define ψ (σ ) en (2.1) converge absoluta y uniformemente
en σ , el teorema de Fubini permite escribir
N

ϕN (x) :=

dσ
eiσx ψ (σ ) √ =
2π
−N

(2.7)

=

= ϕ(x) +

1
π
1
π

∞
−∞
∞
−∞

∞

N

−∞

−N

eiσ(x−y) dσ ϕ(y )

dy
=
2π

sin(N t)
ϕ(x + t) dt =
t
sin(N t)
[ϕ(x + t) − ϕ(x)]...