Matematica

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

CÁLCULO DE ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS.
Esta es una de las primeras aplicaciones de la integral definida, podríamos decir que es la aplicación directa de la interpretación geométrica. Vamos a considerar el cálculo de áreas en coordenadas cartesianas x, y, de ecuaciones dadas en forma paramétrica y de figuras dadas en coordenadas polares.
El área encoordenadas cartesianas.- Si una gráfica continua está dada en coordenadas cartesianas como función de “x” es decir por la ecuación y=fx fx≥0, el área es la del trapecio mixtilíneo limitado por la curva y=fx, el eje de las “x” y las rectas verticales x = a y x = b. y viene dado por la expresión:
A=abfxdx.

Demostración:
Consideremos una partición del segmento cerrado a, b,P=x0,x1,….,xn, donde el i-ésimo sub- intervalo xi,xi+1 tiene longitud ∆ix=xi+1-xi y tomamos εi∈xi,xi+1 para i=1,2,3,…,n luego trazamos los rectángulos que tienen una altura fεi y ancho ∆ix unidades.
Si encontramos el área del i-ésimo rectángulo tenemos: ∆iA=fϵi∆ix, pero como son n rectángulos, entonces el área de los n rectángulos es la sumatoria de todas estas áreas asi:
i=1n∆iA=i=1nfϵi∆ix
Estaexpresión no es más que una sumatoria de Riemann, la misma que al llevarle al límite cuando ∆ix→0 o cuando el número n de divisiones tiende al infinito, obtenemos la fórmula para encontrar el área en coordenadas rectangulares
A=lim∆x→0i=1nfϵi∆ix=abfxdx → A=abfxdx .
Como es necesario siempre realizar la gráfica, si observamos que una parte del área esta debajo del eje “x” es decir es negativa,para hallar el área de esta región será inevitable poner a la fórmula con valor absoluto así:

A=abfxdx
La misma tenemos que calcularla como la suma algebraica del área positiva menos el área negativa, si c es el punto donde nace el área negativa y se cumple que a≤c≤b tenemos:
A=abfxdx=acfxdx-cbfxdx.
Cuando tenemos la región que está limitada por x=fy, las rectas horizontales y = c, y= d y el eje “y”, las franjas diferenciales les hacemos horizontales y la expresión que nos permita calcular está área es:
A=cdfydy.
Si la región está entre dos curvas y1=gx ∩ y2=fx, con el mismo segmento a,b, siendo fx>gx en todo el intervalo, la fórmula para calcular esta área es:
A=abfx-gxdx

Para la región que está entre las curvas x1=fy ∩ x2=gy, en el segmento c,d,siendo fy>gy en todo el intervalo, la fórmula para calcular el área es:
A=cdfy-gydy
El área en coordenadas polares.-
Sea r=fθ la ecuación de la curva en coordenadas polares, donde fθ es una función continua en el intervalo α, β.
El área OAB de la que está limitada por la curva r=fθ y los rayos que forman los ángulos α y β con el eje polar se determina por:
A=12αβfθ2dθDemostración:
Para determinar el área del sector circular OABO, dividimos en n partes arbitrarias el intervalo α, β de tal manera que α=θ0<θ1<….<θi<θi+1…<θn-1<θn=β, designando como ∆θi con i=1,2,….,n los ángulos formados por los rayos vectores trazados en la figura, quedándonos un sector circular de radio vector ri y ángulo central ∆θi cuya área es igual ∆A=12ri2 ∆θi, como son n sectorescirculares, formamos la sumatoria de Riemann, la misma que al llevarle al límite cuando ∆θi→0, tenemos la fórmula con integrales para hallar el área de una región dada en coordenadas polares.
A=lim∆θi→012i=1nri2 ∆θi=12αβr2dθ →A=12αβfθ2dθ Lcqd.

De la misma manera que en coordenadas rectangulares, la región R puede estar limitada por dos curvas r1=fθ y r2=gθ en el intervalo α, β, parafθ>gθ en todo el segmento, la expresión que nos permita calcular esta área es:

A=12αβfθ2-gθ2dθ .



EJERCICIO.
Determinar el área de la figura limitada por las curvas y2=3-x y y2=x
a. Determinamos los límites de integración analíticamente, resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones dadas.

y2=3-x 1y2=x 2...