Matematica

´
Leccion

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El espacio euclídeo
1.1.

El espacio vectorial Rn

Definición. Conjunto de todas las n-uplas de números reales:
Rn = {(x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 , x2 , . . . , xn ∈ R}
Nos interesan los casos n = 2 y n = 3:
R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}

R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}

y

Recordamos que Rn tiene estructura de espacio vectorial con las operaciones:
Suma: (x1 , x2 , .. . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
Producto por escalares: λ (x1 , x2 , . . . , xn ) = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn )
La base standard de Rn está formada por los vectores:
e1 = (1, 0, . . . , 0) ; e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) ; . . . en = (0, . . . , 0, 1).
Escribiendo

n

(x1 , x2 , . . . , xn ) = x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en =

∑ xk ek
k=1tenemos la única expresión de cada elemento de
básicos.

Rn

como combinación lineal de los vectores

Para n = 2, 3 se usa la notación siguiente:
En R2 : i = (1, 0) , j = (0, 1) , (x, y) = x i + y j
En R3 : i = (1, 0, 0) , j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) , (x, y, z) = x i + y j + z k
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1. El espacio euclídeo

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Interpretación geométrica.
Puntos: del mismo modo que R se representageométricamente como una recta, R2 se
puede representar como un plano en el que cada par (x, y) corresponde al punto de abcisa
x y ordenada y con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas. Análogamente R3 se
representa como un espacio tridimensional y, en general, una n-upla (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn será
un punto en un espacio de n dimensiones.
Vectores: alternativamente, cadan-upla y = (y1 , y2 , . . . , yn ) se interpreta como el segmento
orientado (vector) que une el origen (0, 0, . . . , 0) con el punto de coordenadas (y1 , y2 , . . . , yn ) .
La suma de vectores responde entonces a la regla del paralelogramo. Los vectores de la base
standard e1 , e2 , . . . , en se sitúan en las direcciones de los ejes de coordenadas y los vectores
y1 e1 , y2 e2 , . . . , yn en sonlas componentes del vector y según dichos ejes. Es útil considerar
segmentos orientados con origen arbitrario, pero identificamos dos segmentos que se obtengan uno de otro aplicando la misma traslación a su origen y extremo, con lo que al segmento
con origen en un punto P = (x1 , x2 , . . . , xn ) y extremo en Q = (y1 , y2 , . . . , yn ) corresponderá
−
→
el vector PQ = (y1 − x1 , y2 − x2 , .. . , yn − xn ). Recíprocamente, cada vector z = (z1 , z2 , . . . , zn )
puede representarse por un segmento con origen en cualquier punto P = (x1 , x2 , . . . , xn ), sin más
−
→
que tomar Q = (x1 + z1 , x2 + z2 , . . . , xn + zn ), con lo que claramente z = PQ. La suma de vec−
→ −
→ −
→
tores tiene ahora una clara interpretación geométrica: PQ + QR = PR, cualesquiera que sean
lospuntos P, Q y R. Usamos indistintamente ambas interpretaciones geométricas: la n-upla
x = (x1 , x2 , . . . , xn ) será el punto x o el vector x, según convenga en cada momento.

1.2.

Producto escalar y norma euclídea

Definición del producto escalar. Para x , y ∈ Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) , y = (y1 , y2 , . . . , yn ),
se define:
n

x . y = x | y = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn =

∑xk yk
k=1

Para n = 2: (x, y).(u, v) = x i + y j | u i + v j = x u + y v
Para n = 3: (x, y, z).(u, v, w) = x i + y j + z k | u i + v j + w k = x u + y v + z w
Propiedades del producto escalar. Las dos principales son:
Simétrico: x . y = y . x
Lineal en cada variable (bilineal):

αx + βy|z = α x|z + β y|z

Definición de la norma euclídea. Para x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn se define:1/2

n

x = x|x

1/2

=

∑
k=1

Es claro que x

0, y que x = 0 ⇔ x = 0.

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xk

1. El espacio euclídeo

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Desigualdad de Cauchy-Schwartz. Para x , y ∈ Rn se tiene:
| x|y |

x

y

Se da la igualdad si, y sólo si, x = 0 o y = α x con α ∈ R.
Desigualdad triangular. Para x , y ∈ Rn se tiene:
x+y

x + y

Se da la igualdad si, y sólo si, x = 0 o y = α x con α

0....