matematica

TECSUP - PFR

Cálculo Diferencial e Integral

UNIDAD XIII

LA INTEGRAL DEFINIDA

1.

INTRODUCCIÓN
En los temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función,
descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se
han encontrado las integrales indefinidas de funciones sencillas. Sin embargo no
quedan claros ni su significado ni suutilidad.
Estos son los objetivos de este tema, para lo cual se dará la interpretación que
Riemann, matemático alemán, dio a conocer en el siglo XIX.
El cálculo de áreas de figuras como el cuadrado, el rectángulo, el rombo, etc.,
además de sencillo tiene un claro significado: el área de una figura es un número
que coincide con el de cuadrados de lado unidad que recubren exactamente la
figura.
Sepuede cuestionar entonces si cualquier figura tiene área y cómo se calcula.
Para responder a esta cuestión se puede empezar por tomar una función muy
sencilla, por ejemplo f (x )  x , dibujarla en un sistema de ejes cartesianos y
tratar de calcular el área de la superficie limitada por la función, el eje de
abscisas y la recta de ecuación x  1 .
Y

y=x

X
1

Evidentemente, lasuperficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura
también la unidad, por tanto su área es ½. Es claro que este problema carece de
toda dificultad. No obstante, se puede aprovechar su simplicidad para intentar
obtener algo útil en otros casos menos sencillos.
Si se divide el intervalo [0 , 1] en, por ejemplo, cuatro intervalos de igual
longitud: [0 , 1/4], [1/4 , 2/4], [2/4 , 3/4], [3/4 ,4/4], y se trazan rectángulos
como se observa en la figura, la suma de las áreas de los rectángulos rayados es

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Cálculo Diferencial e Integral

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menor que el área del triángulo; mientras que la suma de las áreas de los
rectángulos punteados, exceden al área del triángulo.

Y

Y

y=x

1

1

3
4

3
4

1
2

1
2

1
4

y=x

1
4

X

X
1
4Calculando

1
2

estas

3
4

1
4

1

áreas

se

obtiene:

1
2

3
4

1
1 10
;
S  
16
2 16

1

es

decir,

0,375  0,5  0,625

Al área por defecto, 0,375, le falta mucho para llegar a 0,5; y el área por exceso,
0,625, se encuentra considerablemente lejos de 0,5.
Ahora bien, si se divide en muchas más partes el intervalo [0 , 1], parece lógico
que lasdiferencias que han resultado en el caso anterior, tenderán a disminuir.
Si se divide ahora el intervalo [0 , 1] en n intervalos de longitud 1/n, la superficie
que se «desperdicia» es menor, si n  4 .
Y

Y
y=x

1

y=x
1

n-1
n

3
n
2
n

2
n

.....

1
n

.....

1
n

1
n

2
n

3
n

.....

n-1
n

X
1
n

1

182

2
n

3
n

.....

n-1
nX
1

TECSUP - PFR

Cálculo Diferencial e Integral

Área por defecto:
2 1 1 3 2 2
n n 1 n 1
         

n n  n n n  n
n  n

n

Área por exceso:
1
 1 2 1 2
n n 1 n
  0           

n  n
n
 n n n  n
n

Así,
1 1 1 2
 1  n 1 1  1  1  1  2
1 n
         
       
2 n  nn  n
n  n n  n
n  n
n  n

1 1 1 2
1 n 1 1 1 1 1 2
1 n
    
      
n n n n
n
n
2 n n n n
n n

1  2  3  n 1

n

2



1 1 2  2  n

2
n2

Como los numeradores son progresiones aritméticas, el resultado es:

n (n  1) 1 n (n  1)
,
 
2
2n 2
2n 2
y simplificando,
(n  1) 1 (n  1)
 
2n
2
2n

Además,
(n  1)

lim 2nn 

1 1  1
 lim  

2n  2
n   2


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Cálculo Diferencial e Integral

(n  1)

lim 2n
n 

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1 1  1
 lim  

2n  2
n   2


Todo ello pone de manifiesto que al dividir el intervalo [0;1] en un número
infinitamente grande de intervalos iguales, el área por defecto coincide con el
área por exceso y ambas con el área del recinto...