Matematica

Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación

DIFERENCIAS FINITAS Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre

El método de e las diferencias finitas sirve para aproximar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, las cuales van por lo general acompañadas de condicionesiniciales o de frontera. Mediante un proceso de discretización, el conjunto infinito de números que representan la función o funciones incógnitas en el continuo, es reemplazado por un número finito de parámetros incógnita, y este proceso requiere alguna forma de aproximación. 1DIFERENCIAS FINITAS EN 1-D (UNIDIMENSIONAL)

Entre las formas de discretización esta: el método de los elementos finitos,método de volúmenes finitos, método de diferencias finitas (1-D, 2-D, 3-D, 4-D), etc.

Si deseamos determinar la función ( ) que satisface una ecuación diferencial en un dominio determinado, junto a condiciones de iniciales del problema. Se tiene que empezar por diferenciar la variable independiente , para después construir una grilla o malla, con puntos discretos igualmente espaciados, sobre eldominio establecido. Después se debe reemplazar aquellos términos en la ecuación diferencial que involucren diferenciación por términos que contengan operaciones algebraicas. Este proceso trae implícito una aproximación y puede efectuarse mediante la utilización de aproximación en diferencias finitas para las derivadas en una función. Aproximaciones de derivadas mediante diferencias finitas (oformulas de discretización) ó : ( )≈ , ( + ℎ) − ( ) ℎ = max |

Aproximación en diferencias hacia adelante o forward difference de la primera derivada de una función: : = ℎ 2 ( ) ≤ ℎ 2 ( )|

ó

Aproximación en diferencias hacia atrás o backward difference de la primera derivada de una función: : ( )≈ ( ) − ( − ℎ) ℎ

ó

Aproximación de diferencia central o central difference de la primeraderivada de una función: : = ℎ 6 ′( ) ≤ : ( )≈ ℎ 6 , ( + ℎ) − ( − ℎ) 2ℎ = max | ( )|

:

=

ℎ 2

( ) ≤

ℎ 2

,

= max |

( )|

ó

Aproximación a la segunda derivada de una función: : = ℎ 12 ( ) ≤ ℎ 12 : , ( )≈ = max |

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ) ℎ ( )|

Demostraciones:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden: ( + ℎ) = ( ) + ℎ ( ) + ( + ℎ) −( ) ℎ − 2 ℎ ( )≈ ( + ℎ) − ( ) , ℎ ( )= ℎ 2 ( ) ℎ 2 ( )

Diferencias hacia adelante:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden: ( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) + ( ) − ( − ℎ) ℎ + ℎ 2 ( )≈ ( ) − ( − ℎ) , ℎ ( )= ℎ 2 ( ) ℎ 2 ( )

Diferencias hacia atrás:

=

( )

=

( )

(2)

(1)

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden,para ℎ 2 ℎ ( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) + 2 ( + ℎ) = ( ) + ℎ ( ) + ℎ 6 ℎ ( )− 6 ( )+ ( ) ( ) ( )

Diferencia central:

+ℎ y

− ℎ:

Si restamos (1)-(2), se obtiene: ( + ℎ) − ( − ℎ ) ℎ − 2ℎ 6 ( )≈

( + ℎ) − ( − ℎ) = 2ℎ ( ) + ( + ℎ) − ( − ℎ) , 2ℎ

( )=

ℎ 6

(2)

(1)

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden, para ℎ 2 ℎ ( − ℎ) = ( ) − ℎ ( ) + 2 ( + ℎ) = () + ℎ ( ) + ℎ 6 ℎ ( )− 6 ( )+ ℎ 24 ℎ ( )+ 24 ( )+ ( ) ( ) ( ))

Diferencia para la segunda derivada:

=

( )

( )+

ℎ 6

′( ) +ℎ y − ℎ:

Si sumamos (1) + (2), se obtiene: ( + ℎ) + ( − ℎ ) = 2 ( ) + ℎ

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ ) ℎ − ℎ 12 ( )≈

( )+

( + ℎ) − 2 ( ) + ( − ℎ) , ℎ

( )=

ℎ ( 24

=

( )

( )+

ℎ 12

( )

Ejercicios: Sol:

1) Determine

,

de:= − + 1, (0,1) (0) = 1; (1) = 1 +

Se puede observar que esta ecuación diferencial es de primer orden, por lo que podemos usar una de las discretizaciones para la primera derivada de una función. Según los datos podemos hacer un bosquejo grafico, dándonos un espaciamiento de 0.25: Se tomará la de Diferencias hacia adelante (o avanzada) 0
0 1 2 3 4

Ahora reemplazamos en la ecuación...