matematica

TALLER Nº 10

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION


PASOS PARA LA SOLUCION DE PROBLEMAS DE OPTIMIZACION:

1. Comprender el problema: El primer paso es leer cuidadosamente el problema, hasta que se entienda con claridad. Formular las preguntas ¿Cuál es la incógnita del problema?, ¿Cuáles son las cantidades conocidas?, ¿Cuáles son las condiciones dadas?
2. Dibujar un diagrama: En la mayorparte de los problemas, resulta útil dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas y las incógnitas.
3. Introducir notación: Asigne un símbolo a la cantidad que se va a optimizar (maximizar o minimizar); así mismo seleccione símbolos para las otras cantidades desconocidas y marque el diagrama con estos símbolos.
4. Escribir la función: Exprese la cantidad que se va a optimizar entérminos de algunos de los otros símbolos para las cantidades desconocidas del paso 3.
5. Relacionar las variables: Si en el paso 4, la cantidad que se va a optimizar, se ha expresado como una función de más de una variable, utilice la información dada para hallar relaciones (en forma de ecuaciones), entre estas variables. Enseguida, use estas ecuaciones para eliminar todas las variables,excepto una, en la expresión de la función que se va a optimizar, de suerte que esta última se expresará como función de una variable x, digamos y = f(x). Escriba el dominio de esta función.
6. Derivar: Aplique los métodos correspondientes para hallar el valor máximo o el valor mínimo absolutos de f.

PROBLEMAS PROPUESTOS
PARTE1
GRAFICAS DE FUNCIONES
Para cada una de las funcionessiguientes, dar dominio y rango, buscar si existen extremos relativos o absolutos, analizar la curvatura de la función, buscar puntos de inflexión, hallar asíntotas horizontales y verticales y graficar.
1.
2.
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5.
6.
7.
8. .
9. Supongamos que el costo total de fabricación de 20 artículos viene dado por: euros.
¿Cuál es el costo de fabricación de 20 artículos?
¿Cuál esel costo de fabricación del vigésimo artículo?
Exprese el coste de fabricación medio por artículo como función de x.
¿Para qué valor de x es mínimo el coste medio?
10. Dadas las funciones de ingreso y de coste total de una empresa:

Para
Para

Siendo x la producción de la empresa en miles de unidades, determínese la producción para obtener el máximo beneficio.
11. Una caja conbase cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 32000. Encontrar las dimensiones de la caja que minimizan la cantidad de material usado.
12. Hallar el área del rectángulo más grande que se pueda inscribir en un triángulo rectángulo con catetos cuyas longitudes son de 3 y 4 cm, respectivamente, si dos de los lados del rectángulo se encuentran a lo largo de los catetos.
13.Encontrar los puntos sobre la hipérbola, que están más próximos al punto (0, 2).
14. Qué número maximiza la diferencia entre el número y su cuadrado?
15. ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo cuya base está en el eje x y con dos vértices superiores en la gráfica de la ecuación y= 4 - ?
16. Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio r. ¿Cuál es el área máxima posible de talrectángulo?
17. Un silo consta de un cilindro con una parte superior semisférica. Hallar las dimensiones del silo con un volumen fijo de que tiene la menor área de superficie.
18. Hallar dos puntos sobre cuyas abscisas difieran en dos, de tal forma que la recta que los una tenga la pendiente mínima.
19. De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquélcuya área es máxima.
20. De todos los triángulos isósceles de 12 cm de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
21. Hallar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 500 m3 de capacidad que tenga un revestimiento de coste mínimo.
22. Se considera una ventana rectangular rematada en la parte superior un triángulo. Sabiendo...