Matematica

Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.







Ecuación diferencial exacta
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

Donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función tal que:

Donde y .
Dado que es una función diferenciable, entonces, porel teorema de Clairaut, sus derivadas cruzadas deben ser iguales. Esto significa que:
.
Dicha ecuación tiene su método de solución.
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
Se integra M o N aconveniencia (M respecto a x ó N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

Para despejar la función g se deriva con respecto a la variable independiente de g.
Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variabledependiente de g; de este modo se encontrará la función g.
Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general .

Factor integrante.
Si una ecuación diferencial no es exacta, podría llegar a serlo si se multiplica por una función especial llamada factor integrante, tal que:
sea exacta.
Cabe destacar que bajo ciertas condiciones el factor integrante siempre existe, pero sólo paraalgunas formas de ecuaciones diferenciales es posible encontrarlo fácilmente:
Factor integrante solo en función de x.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe decir que para que exista, es condición necesaria y suficiente que el miembro tiene que ser función únicamente de x. (Aclarando que yequivalen a las parciales de estas; y respectivamente).
Factor integrante solo en función de y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de x+y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x+y (es decir, ), entonces se puede encontrar por mediode la fórmula siguiente:
Con
Factor integrante solo en función de x·y.
Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x·y (es decir, ), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:
Con
Donde M·x
Cabe mencionar que:


Isoclinas.
Si es necesario trazar manualmente el campo direccional de la ecuación diferencial , es útil observar que la pendiente de lasolución tiene valor constante en todos los puntos de la curva . Estas curvas se denominan curvas isoclinas. Para ecuaciones relativamente simples es posible trazar el campo direccional dibujando unas cuantas isoclinas y luego insertar los segmentos rectilíneos tangentes a la solución en varios puntos de cada una.
Cuando se hace variar el parámetro , obtenemos un conjunto de isoclinas en los elementoslineales se constituyen adecuadamente. La totalidad de esos elementos lineales se llama de diversos modos: campo de direcciones, campo direccional, campo pendiente o campo de elementos lineales de la ecuación diferencial , el campo de direcciones recuerda las “líneas de flujo” de la familia de curvas de solución de la ecuación diferencial de la cual obtenemos soluciones particulares como pueden serlos puntos etc.
Ejemplos.
1 Para la ecuación

Cuya solución general es
El campo de direcciones se muestra en la figura siguiente, junto con la gráfica de cuatro miembros de la familia de soluciones (que llamamos curvas isoclinas.) Se puede apreciar que tres de las curvas convergen a una cuarta (onda verde en la pantalla). Esta cuarta curva es la solución que se obtiene al poner , es...