matematica

Universidad Nororiental Gran Mariscal de Ayacucho
Núcleo Bolívar
Ingeniería en mantenimiento industrial.
Matemática















Funciones














Profesor: Marcos Carrión Bachilleres:
Rafael FernándezC.I 25.493.304
Ronaldo Mendoza
C.I 25932086


Ciudad bolívar, diciembre 2015
Continuidad de una función en un punto


Se dice que una función f(x) es continua en un punto x = a si y sólo si se cumplen las tres condicionessiguientes:


1. Que el punto x = a tenga imagen.



2. Que exista el límite de la función en el punto x = a.



3. Que la imagen del punto coincida con el límite de la función en el punto.




Ejemplo




Estudiar la continuidad de  en x = 2


1. La función tiene imagen en x = 2.
F (2)= 4


2. La función tiene límite en x = 2 porque coinciden los límites laterales.



3. En x = 2 la imagen coincide conel límite






En la gráfica podemos comprobar que es continua.






Importancia del límite en el cálculo de la continuidad de una función

El concepto de límite es importante en análisis matemático; una herramienta básica para definir la derivada e integral definida, la existencia de número real al definir por un sistema de intervalos encajados, la potencia real de un real positivo. Elplurimilenario caso de π.



Función continúa en un intervalo

Continuidad de una función en un intervalo abierto
Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.

Decimos que f(x) es continua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua " x Î (a, b).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) = en el intervalo (–1, 1).
Por seruna función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).

Ejemplo. Analice la continuidad de la función h(x) = en el intervalo (–2, 2).
Los posibles puntos de discontinuidad son los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1.


A continuaciónse analiza lo que sucede para cada valor:
En x = 1
h(1) =  (indeterminado)

La función no está definida en este punto.
 
Como f(x) no está definida en x = 1 pero existe el límite para x ®  1,  la  función  presenta  una discontinuidad  evitable  en  x= 1.

 En x = - 1
 h(-1) =  no existe
   
Como no existe el  límite para x ® -1,  la función  presenta  una  discontinuidad infinita en x = -1



Porlo tanto, la función es continua en (-2, -1) È (-1, 1) È (1, 2).

Ejemplo. Determine el intervalo más grande (o unión de intervalos) en el que cada función es continua:

a) h(x) = x3 - 3x
b) f(x) = 
c) g(x) = log2 x
d) m(x) = 
    
a) La función h(x) = x3 - 3x es una función continua en cada número real por tratarse de una función polinomial, por lo tanto es continua en (-¥ , +¥ ).
b) La  función   f : R – {2} ® R  /  f(x) =    es   continua   en  todo  su  dominio  de  definición,  es  decir  en  (-¥ , 2) È (2, +¥ ).
Su gráfica es:





c) La función g : R+ ® R / g(x) = log2 x es continua en todo su dominio, es decir en (0, +¥).
Su gráfica es:





d) La función m: R ® R / m(x) =  es continua en los intervalos (-¥, 2) È (2, +¥).


Su gráfica es:

       


Continuidad de una función en unintervalo cerrado

La continuidad de una función en un intervalo cerrado [a, b] no es sencilla de analizar como en el caso de intervalos abiertos. Dado que al considerar el intervalo cerrado [a, b] la función no está definida a la izquierda de a como tampoco a la derecha de b, no tiene sentido considerar los límites en a y en b. Esto hace que no se pueda definir la continuidad en esos dos...