Matematicas

Problemas y Ejemplos Resueltos, Borrador ˜ (incluidos problemas de examenes de anos anteriores)
Jos´ Mar´a Ba˜ on e ı n´ ´ ´ METODOS NUMERIC0S, Escuela de Ingenier´a de Sistemas y Computaci´ n ı o 2 banon@eisc.univalle.edu.co

1. Problemas de Ecuaciones Lineales:
Problema 1: Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales, −5 x1 + x2 − x3 = 20 x1 + 5 x2 + x3 = 10 −x1 + x2 − 5 x3 = 5 Sepide i) Calcular dos iteraciones con el m´ todo de Gauss-Jacobi, y e ii) Calcular una iteraci´ n con el m´ todo de Gauss-Seidel. o e Tomar en ambos casos el valor inicial (0, 0, 0). M´ todo Gauss-Jacobi. Para una ecuaci´ n de la forma, e o a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 la iteraci´ n i de Gauss-Jacobi se escribe, o
(i) x1 (i)

= = =b1 − a12 x2 b2 − b3 −

(i−1)

x2

a11 (i−1) a21 x1 − a22 (i−1) a31 x1 − a33

− a13 x3

(i−1)

a23 x3 a32 x2

(i−1)

(i−1)

(i) x3

1

donde se ha supuesto que a11 , a22 , a33 = 0. Por lo tanto en este caso se tiene que la primera iteraci´ n es, o x1 = −4 x2 = 2 x3 = −1 La segunda iteraci´ n es, o x1 = −14/5 x2 = 3 x3 = 1/5

e M´ todo Gauss-Seidel.

La iteraci´ n i deGauss-Seidel se escribe, o x1 x2 x3
(i)

(i)

(i)

a11 (i−1) b2 − − a23 x3 = a22 (i) (i) b3 − a31 x1 − a32 x2 = a33
(i) a21 x1

=

b1 − a12 x2

(i−1)

− a13 x3

(i−1)

donde se ha supuesto que a11 , a22 , a33 = 0. Estas iteraciones se realizan hasta llegar a una iteraci´ n k en la que se cumple que la siguiente cantidad es menor que un cierto valor predeo terminado. n
i=0

xi −xi

(k)

(k−1)

Aplicando la formula iterativa, la primera iteraci´ n de Gauss-Seidel conduce al siguiente o resultado, x1 = −4 x2 = (10 + 4)/5 x3 = −(1 − 14/5)/5

2. Problemas de M´nimos Cuadrados ı
Problema General Plantear y determinar las ecuaciones para calcular el polinomio de grado tres p(x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 que mejor se ajuste a una nube de datos, {xi }n ,{f (xi )}n .i=0 i=0 2

Planteo Se debe cumplir que la cantidad E(a0 , a1 , a2 , a3 ) que representa la suma de las desviaciones al cuadrado sea m´nima, ı
n n

E(a0 , a1 , a2 , a3 ) =
i=0

[f (xi ) − p(xi )] =

2

i=0

[f (xi ) − (a3 x3 + a2 x2 + a1 xi + a0 )]2 i i

entonces, igualando a cero todas las primeras derivadas parciales, ∂E(a0 , a1 , a2 , a3 ) ∂a0 ∂E(a0 , a1 , a2 , a3 ) ∂a1 ∂E(a0 ,a1 , a2 , a3 ) ∂a2 ∂E(a0 , a1 , a2 , a3 ) ∂a3 = 0 = 0 = 0 = 0

Determinaci´ n de las ecuaciones o
n n

reagrupando t´ rminos se tiene, e
n n n

i=0 n

f (xi ) − a3

x3 i
i=0 n

− a2

x2 i
i=0 n

− a1

i=0 n

xi − a0

1. = 0
i=0 n

i=0 n

f (xi ) xi − a3

i=0 n

x4 − a2 i x5 − a2 i x6 − a2 i

i=0 n

x3 − a1 i x4 − a1 i x5 − a1 i

i=0 n

2 xi − a0

xi . =0
i=0 n

i=0 n

f (xi ) x2 − a3 i f (xi ) x3 − a3 i

i=0 n

i=0 n

i=0 n

x3 − a0 i x4 − a0 i

x2 . = 0 i
i=0 n

x3 . = 0 i
i=0

i=0

i=0

i=0

i=0

lo cual representa un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incognitas. Las incognitas son a3 , a2 , a1 , a0 . Los coeficientes de la ecuaci´ n son las cantidades: o
n n n n

f (xi ),
i=0 n 6 xi , i=0 i=0 n i=0

f(xi ) xi ,
i=0 n n

f (xi ) x2 , i
i=0 n n 2 xi , i=0 i=0

f (xi ) x3 , i
n

x5 , i
i=0

x4 , i
i=0

x3 , i

xi ,
i=0

1.

las cuales se calculan con el tabulado de puntos. Recta de Regresi´ n de una nube de puntos Plantear, determinar y resolver las ecuaciones o para calcular la recta a x + b que mejor se ajuste a los datos siguientes: {xi }10 =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, i=1 {yi}10 =1.3, 3.5, 4.2, 5.0, 7.0, 8.8, 10.1, 12.5, 13.0, 15.6. i=1 3

Planteo Se debe cumplir que la cantidad E(a, b) que representa la suma de las desviaciones al cuadrado sea m´nima, ı
n

E(a, b) =
i=1

[yi − (a xi + b)]2

entonces, igualando a cero todas las primeras derivadas parciales, ∂E(a, b) = 0 ∂a ∂E(a, b) = 0 ∂b

Determinaci´ n de las ecuaciones o
n

reagrupando t¨ rminos se...