Matematicas

Resumen.
En este tema estudiaremos las propiedades de las funciones continuas. Convergentes y divergentes, para saber sus propiedades, conocer los principales tipos y poder entender las sucesiones numéricas, e igualmente poder interpretar los límites a los que tienden las series numéricas es necesario entender las propiedades de las funciones continuas.
(5) Propiedades de las funcionescontinuas.
1.- si f es continua x0 y f(x0) ≠ 0, entonces existe un entorno de x0 en el cual f tiene el mismo signo que f(x0).
2.- si f es continua en x0entonces existe un entorno de X0 en el cual f esta acotada.
3.- todas las funciones elementales definidas polinómicas, racionales, irracionales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, son continuas en su dominio de definición.
4.- si f yg son dos funciones continuas en X0, se verifica:
F±g, f.g, t.f con t numero real f/g con g(X0) ≠son funciones continuas en X0.
5.- si f es continúa en X0 y g es continua en f(X0), entonces, g ó fes continua en X0.
(4)
 

 
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Figura 30: Teorema de Bolzano (izq.) y de los valores intermedios (der.) |

 
(1) Definición:
En análisis matemático, el concepto de convergencia hacereferencia a la propiedad que poseen algunas sucesiones numéricas de tender a un límite. Este concepto es bien general y dependiendo de la naturaleza del conjunto donde se encuentre definida la sucesión, puede adoptar varias formas.
(1) La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea a unvolumen de control, por tanto, si el campo tiene "fuentes" o "sumideros" la divergencia de dicho campo será diferente de cero.
Una sucesión de elementos  de un espacio métrico  converge a un elemento  si para todo número  existe un entero positivo  
(que depende de ) tal que
En tal caso, se acostumbra escribir:

O también:

O simplemente:

Intuitivamente, esto significa que loselementos  de la sucesión se pueden hacer arbitrariamente cercanos a  si  es suficientemente grande, ya que  determina la distancia entre  y . A partir de la definición es posible demostrar que si una sucesión converge, lo hace hacia un único límite.
La definición se aplica en particular a los espacios vectoriales normados y a los espacios con producto interno. En el caso de un espacio normado  lanorma  induce la métrica  para cada ; en el caso de un espacio con producto interno  el producto interno  induce la norma  para cada 

Ejemplo:
El conjunto de los números reales  al igual que el conjunto de los números complejos  se constituyen en un espacio métrico por medio del valor absoluto: para cada par de elementos  en ó , la función  determina una métrica.
Por tanto, de acuerdo a unasucesión  en  converge a un  si para todo , existe un entero  tal que

Como ejemplos podemos considerar:
* La sucesión constante definida por  para todo, donde. Esta sucesión converge a  pues

para todo 
* La sucesión  Esta sucesión converge a cero, pues por la propiedad arquimediana de los números reales, para cada , existe un número natural  tal que  y por tanto, si   y

* La sucesión del ejemploanterior es un caso particular de un resultado más general. Dado 

* Si  entonces 
* La sucesión . Esta sucesión no converge, sus valores oscilantes son 
* Debido a que  (en particular ) está dotado de una operación suma (lo que no ocurre en todo espacio métrico), a cada sucesión  en  (en particular ) es posible asociarle la sucesión de sumas parciales.

La sucesión  se expresasimbólicamente como

y se le denomina serie infinita. En el caso en que la sucesión de sumas parciales converja , se dice que es una serie convergente y se escribe

En caso contrario se dice que es una serie divergente. Ejemplos clásicos de series convergentes y divergentes son

Observemos que la definición de convergencia nos dice que una sucesión  en un espacio métrico  converge a...