Matematicas

Escuela Superior Politécnica del Litoral

Solucionario de Problemas de Ecuaciones Diferenciales
Primer parcial (3ra versión)
Roberto Cabrera

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS YVARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS. RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales separables
Se tiene una ecuacióndiferencial ordinaria de primer orden: XY {Y Y{ XY

Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa ecuación diferencial de la siguiente manera: XY {Y{ {Y{ XY Donde { { se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta ecuación diferencial: XYXY {Y{ {Y{ {Y{XY

XY {Y{

Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma: {Y{ {Y{ - V

XY {Y{

{Y{XY

1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:

dy(xy - 2x + 4y - 8) - dx(xy + 3x - y - 3) = 0
dy xy + 3x - y - 3 = dx xy - 2x + 4y - 8 dy x(y + 3) - (y + 3) = dx x(y - 2) + 4(y - 2) dy (y + 3)(x - 1) = f ( y )g ( x ); = dx(y - 2)(x + 4)

(y − 2 )dy (x − 1)dx ⇒ Integramos = (y + 3 ) (x + 4 ) (y − 2 )dy (x − 1)dx ∫ (y + 3 ) = ∫ (x + 4 )

a ambos lados de la ecuación

∫

( y + 3 )dy 5dy (x + 4 )dx 5dx −∫ =∫ −∫ (x + 4 ) (x + 4 ) ( y + 3) y+3 5dy 5dx

∫ dy − ∫ y + 3 = ∫ dx − ∫ (x + 4 )
y − 5 ln y + 3 = x − 5 ln x + 4 + c ESPOL 2009 2

Ecuaciones diferenciales de primer orden 2.- Encontrar la soluciónparticular de la siguiente ecuación diferencial: π Si y(0) = ; 4 Reemplazan do u y v : x 3e tan(y)dx + (2 − e x )sec 2 (y)dy = 0 ln tan(y) = 3ln 2 − e x + c; (2 − e x )sec 2 (y)dy = −3e x tan(y)dx; 3ln 2 − e x + c e ln tan(y) = e ; − 3e x tan(y) dy = = f(x).g(y); x 2 x 3 dx (2 − e )sec (y) tan(y) = (2 − e ) K; 2 x sec (y)dy 3e dx La solución general es : =− ; x tan(y) (2 − e ) y = arctan[(2 − e x )3 K];
sec 2 (y)dy 3e x dx = ∫− ; ∫ tan(y) (2 − e x ) u = tan(y) ⇒ du = sec 2 (y); v = 2 − e ⇒ dv = − e dx;
x x

si y(0) = /4; ⇒ /4 = arctan[(2 − e 0 )K ]; /4 = arctan(K);   tan   = K; ⇒ K = 1; 4 La solución particular es : y = arctan[(2 − e x )3 ];

⇒ Reemplazan do : du 3dv ∫ u =∫ v ; ln u = 3ln v + c;

3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:e x/2 ydy −

dx = 0 e (1 + ex/2 )
y

e x/2 ydy =

dx ; e (1 + e x/2 )
y

dy 1 = x/2 = f( x ).g( y ); dx e (1 + e x/2 )ye y f( x) = g( y ) = e
x/2

Integrando por fracciones parciales obtenemos : 1 A B C = 2+ + ; 2 u ( u + 1) u u 1+ u Donde los valores de A, B, C son : A = 1; B = - 1; C = 1; ⇒∫ ⇒∫ ⇒∫ ⇒∫ 1   2du   1 1 = 2 ∫  2 − + du ; u 1+u   u (1 + u )   u
2

1 ; (1 +e x/2 )

1 ; ye y

dx y ∫ ye dy = ∫ e x/2 (1 + e x/2 ) ; dx ∫ e x/2 (1 + e x/2 ) = ? 1 u = e x /2 ⇒ du = e x /2 dx ; 2 2du 1 ; du = udx ⇒ dx = u 2 2du dx 2du u ⇒ ∫ x/2 =∫ =∫ 2 x/2 e (1 + e ) u(1 + u ) u (1 + u )

du du du 2du = 2∫ 2 − 2∫ + 2∫ ; 1+u u u u (1 + u )
2

2du 2 = − − 2 ln u + 2 ln 1 + u + c ; u (1 + u ) u
2

e

x/2

dx 2 = − x/2 − 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ; x/2 (1+ e ) e
x/2

dx ; e (1 + e x/2 ) La solución implicita general es : ye y − e y = ∫ ⇒ ye y − e y = − 2 e
x/2

− 2 ln e x/2 + 2 ln 1 + e x/2 + c ; 3

ESPOL 2009

Ecuaciones diferenciales de primer orden

4. - Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
2 y ln( x )dx − (e y − e − y )x 1 + ln( x )dy = 0
(e y − e − y )x 1 + ln( x)dy = 2 y ln( x)dx ; dy 2 y ln(...