Matematicas

Sucesión matemática
[pic][pic][pic][pic][pic]==Definición==

Una sucesión es una función definida sobre los enteros naturales. Es costumbre emplear las letras u, v, w... para designarlas, en vez de f, g, h... que sirven para las funciones. Del mismo modo, la variable se nota usualmente ''n'' (por ''natural'') en vez de ''x'', habitual para las variables reales.
Por convención, se escribe unen vez de u(n) la imagen de n pour la sucesión u, o sea el término número n+1 de la sucesión u (el primer término es habitualmente u0).

:
\begin{matrix}
u:& \mathbb{N} & \to & \mathbb{R} \

& n & \to & u_n
\end{matrix}

Existen esencialmente dos maneras de definir una sucesión: explícitamente o implícitamente.

===definición explícita===

La definición es '''explícita''' cuando se dauna fórmula que permite hallar un mediante un cálculo único donde no interviene otras variable que ''n''. En otras palabras, un es una función de ''n'': '''un = f(n)'''.

Es el caso representado por el primer gráfico, donde la función es polinomial. Los términos de la sucesión son las ordenadas de los puntos rojos, cuyas abcisas son los enteros naturales.

Cuando la función ''f'' es definidatambién en los reales (como en la figura), el estudio de ''f'' (límite en + ? variaciones, extremos) permite conocer perfectamente ''u'':

* Si ''f'' tiende hacia ''l'' (en + ?) entonces también lo hace ''u''. La recíproca es erronea, como lo muestra la función f(x) = sin(2?·x), que no tiene límite mientras que un = f(n) es siempre nulo y ''u'' tiende por lo tanto hacia cero.

* Si ''f'' escreciente en un intervalo a; b] entonces ''u'' lo es para los valores enteros positivos del intervalo (o sea sobre a; b] ? \mathbb{N}).

* Para los extremos, la cosa se complica: si los extremos de ''f'' no corresponden a valores enteros de x, entonces se tiene que considerar los naturales más próximos y comparar los un correspondientes. En la figura, ''f'' tiene un mínimo relativo en el intervalo]2; 3, y como u2 < u3, u2 es un mínimo relativo de ''u''. El máximo relativo de ''f'' en ]6; 7 da dos máximos relativos de ''u'' porque u6 = u7.

Sin embargo, existen métodos para estudiar ''u'' sin estudiar ''f'': el sentido de variación se puede determinar con el signo de un+1 - un ( si es positivo, ''u'' crece), o comparando la fracción un+1/un con 1 (apropiado cuando ''u'' es de signoconstante, a ser posible positivo). Estos cálculos pueden ser más sencillos cuando ''f'' tiene una función derivada complicada.

En algunos casos, la función ''f'' que aparece en un = f(n) no puede extenderse a \mathbb{R}. Es el caso si definimos un como el ''número de factores propios de n'' por ejemplo, u otras funciones aritméticas, como la función fi de Euler o la función µ de Möbius. El estudioclásico de las funciones, mediante la derivación, es entonces imposible.

===definición implícita===

La definición es '''implícita''' cuando ... no es explicita. Esto significa que un no sólo depende de ''n'' sino también de otros términos de la sucesión, que se tendrán que calcular antes.

Por ejemplo se puede fijar uo = 1 y decidir que para cualquier natural n > 0, un = n·un-1. Para hallaru3 digamos, hay que calcular u2 lo que necesita el conocimiento de u1 el cual se calcula con uo.

Obtenemos: u1 = 1×u0 = 1, luego u2 = 2×u1 = 2 y por fin u3 = 3×u2 = 6. Son los factoriales.

Otro ejemplo muy conocido es la sucesión de Fibonacci definida por un+2 = un+1 + un.

La fórmula que define un termino con relación a los anteriores se llama ''relación de '' inducción.

Cuando eltérmino general un sólo depende del término anterior , un-1, es decir cuando existe ''f'' tal que '''un = f(un-1)''' o; lo que viene a ser lo mismo '''un+1 = f(un)''' (para todo natural n), entonces existe un método gráfico de construirla, muy instructivo (ver imagen):

En un sistema de coordenadas se trazan la curva de f y la diagonal (de ecuación ''y = x'').
Se empieza por el punto de abcisa...