Matematicas

Construcci´n de bases de subespacios (ejemplos)
o
Objetivos. Aprender a construir una base de un subespacio cuando las condiciones que
determinan el subespacio se convierten en ecuaciones lineales homog´neas para coordenae
das de vectores.
Requisitos. Construcci´n de una base del conjunto soluci´n de un sistema de ecuaciones
o
o
lineales homog´neas, base, coordenadas, espacios Mm,n (R) yPn (R).
e

1. Ejemplo (construcci´n de una base de un subespacio de polinomios). Se
o
considera el siguiente conjunto de polinomios:
S := f ∈ P3 (R) : f (−3) = 0, f (4) = 0 .
Demostrar que S es un espacio vectorial y construir una base de S .
Soluci´n. 1. Se sabe que P3 (R) es un espacio vectorial real. Demostremos que S es un
o
subespacio de P3 (R). Apliquemos el criterio de subespacio.Denotemos por 0P al polinomio cero (que tiene todos los coeficientes iguales a 0) y
demostremos que 0P ∈ S . En efecto, 0P = 0P y
0P (−3) = 0,

0P (4) = 0P (4) = 0.

Probemos que el conjunto S es cerrado respecto a la adici´n. Sean f, g ∈ S . Por las
o
propiedades de la derivada, (f + g ) = f + g . De la definici´n de la suma de dos polinomios
o
sigue que (f + g )(p) = f (p) + g (p) paracualquier punto p ∈ R. Por lo tanto,
(f + g )(−3) = f (−3) + g (−3) = 0 + 0 = 0,
(f + g ) (4) = (f + g )(4) = f (4) + g (4) = 0 + 0 = 0,
as´ que f + g ∈ S .
ı
Probemos que S es cerrado respecto a la multiplicaci´n por escalares. Sean f ∈ S y λ ∈ R.
o
Por las propiedades de la derivada, (λf ) = λf , y de la definici´n del producto de un
o
polinomio por un escalar sigue que (λf )(p) = λf(p) para todo punto p ∈ R. Ahora es
f´cil ver que λf satisface las condiciones que definen S :
a
(λf )(−3) = λf (−3) = λ0 = 0,

(λf ) (4) = (λf )(4) = λf (4) = λ0 = 0.

Acabamos de demostrar que S es un subespacio de P3 (R) y por lo tanto es un espacio
vectorial. Vamos a construir una base de S . El espacio P3 (R) consiste en polinomos de la
forma
f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 .Construcci´n de bases de subespacios (ejemplos), p´gina 1 de 6
o
a

Escribamos las condiciones f (−3) = 0 y f (4) = 0 que definen el subespacio S en t´rminos
e
de los coeficientes a0 , a1 , a2 , a3 :
a0 − 3a1 + 9a2 − 27a3 = 0;
a1 + 8a2 + 36a3 = 0.

(1)

Tenemos un sistema de ecuaciones lineales homog´neas con las inc´gnitas a0 , a1 , a2 , a3 .
e
o
Aplicando operaciones elementales porrenglones transformamos la matriz del sistema en
una matriz escalonada reducida:
1 −3 9 −27
0
18
36

R += 3R

−1− − →
− − −2

1 0 33 81
0 1 8 36

.

Escribimos la soluci´n general y construimos una base del conjunto soluci´n:
o
o






−33
−81
−33a2 − 81a3




 −8a2 − 36a3 
 = a2  −8  + a3  −36  .






1
0
a2
a3
0
1
Los vectores


−33
 −8 
,
u1 = 

1
0




−81
 −36 

u2 = 

0
1

forman una base del conjunto soluci´n del sistema de ecuaciones (1). Los polinomios
o
correspondientes forman una base de S :
f1 (x) = −33 − 8x + x2 ,

f2 (x) = −81 − 36x + x3 .

o
Vamos a probar que f1 , f2 ∈ S . Para calcular f1 (−3), f1 (4), f2 (−3) y f2 (4), es c´modo
utilizar la divisi´nsint´tica:
o
e
f1 (−3) :

1 −8 −33
−3 1 −11
0

f1 (4) :

2 −8
42
0

f2 (−3) :

1
0 −36 −81
−3 1 −3 −27
0

f2 (4) :

3 0 −36
4 3 12
0

Construcci´n de bases de subespacios (ejemplos), p´gina 2 de 6
o
a

2. Ejemplo. Costruir una base del siguiente espacio de polinomios. Hacer la comprobaci´n.
o
S = f ∈ P2 (R) : f (−4) + 5f (−4) = 0 .
Soluci´n. La forma general de loselementos de P2 (R) es f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 . Para un
o
polinomio f de esta forma,
f (x) = a1 + 2a2 x,

f (−4) = a1 − 8a2 ,

f (−4) = a0 − 4a1 + 16a2 ,

f (−4) + 5f (−4) = (a1 − 8a2 ) + 5(a0 − 4a1 + 16a2 ) = 5a0 − 19a1 + 72a2 .
La condici´n f (−4) + 5f (−4) = 0 es equivalente a la siguiente ecuaci´n lineal homog´nea
o
o
e
con las inc´gnitas a0 , a1 , a2 :
o
5a0 − 19a1 + 72a2...