Matematicas

CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS

p ≠ −1

p ∫ x dx =

x p +1 +C p +1

∫ cos 2 x dx = tgx + C

1

∫

dx = ln x + C x
x x

∫ sen

−1
2

x
2

dx = cot gx + C = tgh x + C
= arcsen x + C = arccos x + C

∫ e dx = e

+C ax +C ln a

∫ cosh

dx x
dx

a > 0, ∫ a x dx =
a > 0, ∫

∫ ∫

1 − x2 − dx 1 − x2 dx
2

dx = log a x + C x ln a

∫ senxdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sen x + C ∫ senh xdx = cosh x + C ∫ cosh xdx = senh x + C
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

∫ 1+ x ∫ ∫

= arctg x + C = arg senh x + C

dx x2 + 1 dx x2 −1

= arg cosh x + C

∫ 1− x ∫ u′( x ) f (u( x ))dx
u′

dx

2

= arg tgh x + C

Si u = u( x ) , entonces

es inmediata siempre que lo sea
u′
2

∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien,∫ 1 + u
ln x (ln x ) 2 ∫ x dx = 2 + C

dx = arctg u + C

∫

ex dx = arcsen e x + C 1 − e2 x

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

1. - Cambio de variable: Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena. Queremos realizar la integral

∫ f ( x )dx

donde

f no

tiene una

primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme la integral en una integralinmediata o composición de funciones. Entonces, para el cambio,

x = g (t )

dx = g ′(t )dt

∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos. 2. - Integración por partes Se basa en la derivada de un producto.

u = u(x ) y (uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando
Sean obtenemos Por tanto,

v = v (x )

entonces

en ambos lados de la igualdad

uv = ∫ u′vdx + ∫ uv ′dx .

∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
Ejemplos:

∫ xe dx = dv = e dx → v = e 
x x

u = x → du = dx

x

 x x x x x  = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C 

dx   u = ln x → du =  x = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C ∫ ln xdx =    dv = dx → v = x  

3. - Integración de funciones trigonométricas: Realización de cambios basados en las identidadestrigonométricas:
sen x + cos x = 1
2 2

sen 2 x =

cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x

Resultan:

1 (1 − cos( 2 x )) 2 1 cos 2 x = (1 + cos( 2 x )) 2

sen( 2 x ) = 2 sen x cos x
2  x sen   = 1 − cos x  2 2 2  x cos  = 1 + cos x  2 2 1 − cos x  x tg  =  2 1 + cos x

sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y 2 sen x cos y = sen( x+ y ) + sen( x − y ) 2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y ) 2 sen x sen y = − cos( x + y ) + cos( x − y )

Ejemplos: i)

∫ sen

2

xdx =

1 1 1 1 1  ∫ (1 − cos(2 x ))dx = 2 ∫ dx − 2 ∫ cos( 2 x )dx = 2  x − 2 sen(2 x ) + C   2 1 11 1  ∫ (sen( 6 x ) + sen(2 x ))dx = 2  6 ( − cos(6 x )) + 2 ( − cos(2 x )) + C   2

ii) ∫ sen( 4 x ) cos( 2 x )dx =

iii) ∫ cos x sen 3 xdx= ∫ sen 3 x (sen x )′dx = sen 4 x + C iv)

1 4

∫ sen

5

x cos 2 xdx = ∫ sen 4 x cos 2 x sen xdx = − ∫ (1 − cos 2 x ) 2 cos 2 x (cos x )′ dx =
2

∫ (1 − 2 cos
∫ sen
2

x + cos 4 x ) cos 2 x (cos x )′ dx =

1 2 1 cos 3 x − cos 5 x + cos 7 x + C 3 5 7

1 1 ∫ (1 − cos( 2 x ))(1 + cos( 2 x ))dx = 4 ∫ (1 − cos 2 (2 x ))dx = 4 v) 1 1 1 1 1 1 1 = ∫ dx − ∫ 1 + cos( 4 x )dx = x − x −sen( 4 x ) = x − sen( 4 x ) + C 4 8 4 8 32 4 32 x cos 2 xdx =

dx sen 2 x + cos 2 x vi) ∫ 2 = dx = sen x cos 2 x ∫ sen 2 x cos 2 x

∫ cos

dx
2

x

+∫

dx = tg x − cot x + C sen 2 x

5. - Integración de funciones hiperbólicas: Son integrales del tipo las siguientes formas:
e x − e− x e x + e− x ; cosh x = 1) Teniendo en cuenta la definición: senh x = 2 2

∫ R(senh x, cosh x )dxy se resuelven de alguna de

2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh 2 x − senh 2 x = 1 senh( 2 x ) = 2 senh x cosh x cosh( 2 x ) = senh 2 x + cosh 2 x

de donde se deduce: senh 2 x = (cosh( 2 x ) − 1); cosh 2 x = (cosh( 2 x ) + 1)
1 (cosh( 2 x ) + 1)dx , 2∫ 1 1 ∫ cosh 2 xdx = 4 ∫ ( e x + e − x )2 dx = 4 ∫ (e 2 x + e −2 x + 2)dx

1 2

1 2

Ejemplo:

∫ cosh

2

xdx =...