matematicas

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Algebra Lineal VII: Independencia Lineal.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Divisi´n de Ingenier´ Campus Irapuato-Salamanca
o
ıas,
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Independencia Lineal.

Definici´n de independencia lineal. Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea
o
S = {v1 , v2 , . . . , vn } unconjunto finito de vectores del espacio vectorial. El conjunto S se dice que es
linealmente dependiente sobre el campo K si existen escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K no todos iguales a 0
tal que
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn = 0.

(1)

En caso contrario; es decir, si los unicos escalares c1 , c2 , . . . , cn ∈ K que satisfacen la ecuaci´n (1) son
´
o
c1 = c2 = · · · = cn = 0,
entoncesel conjunto S se dice que es linealmente independiente sobre el campo K. En otras palabras,
el conjunto S es linealmente independiente si la unica combinaci´n lineal de los vectores de S que es igual
´
o
al vector 0 es aquella para la cual todos los escalares son cero.
Definici´n Considere un espacio vectorial V sobre un campo K y sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un cono
junto finito devectores del espacio vectorial. Un vector v ∈ V se dice que es linealmente dependiente
sobre S si v es una combinaci´n lineal de los vectores de S. En caso contrario, se dice que v es linealmente
o
independiente sobre S.
Teorema. Las siguientes afirmaciones son correctas
1.

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente.

2.

Cualquier conjunto que contenga un unicovector diferente de cero, v = 0, es linealmente indepen´
diente.

3.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1 , v2 }, donde v1 = 0, v2 = 0,
es linealmente dependiente si, y s´lo si, uno de los vectores es m´ltiplo escalar del otro.
o
u

4.

Cualquier conjunto que contenga un subconjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

5.

Cualquiersubconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.
Prueba: Las pruebas de estos resultados son bastante sencillas.

1

1.

Cualquier conjunto que contenga al vector 0 es linealmente dependiente. Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn , 0}
y considere la combinaci´n lineal, con λ = 0
o
0 v1 + 0 v2 + · · · + 0 vn + λ 0 = 0
Este es una combinaci´n lineal donde notodos los escalares son iguales a 0 –λ ya se indic´ que no
o
o
es igual a 0 y por lo tanto el conjunto es linealmente dependiente.

2.

Cualquier conjunto que contenga un unico vector diferente de cero, v = 0, es linealmente indepen´
diente. Considere la combinaci´n lineal
o
λ v = 0.
Por las propiedades iniciales de los espacios vectoriales, se prob´ que si en la ecuaci´n anterior
o
ov = 0, entonces λ = 0, por lo tanto el unico escalar que hace que esta ecuaci´n sea cierta es λ = 0;
´
o
por lo tanto, el sistema es linealmente independiente.

3.

Cualquier conjunto formado por dos vectores diferentes de cero, S = {v1 , v2 }, donde v1 = 0, v2 = 0,
es linealmente dependiente si, y s´lo si, uno de los vectores es m´ltiplo escalar del otro. Suponga
o
u
que v2 = λ v1 ,entonces
v2 = λ v 1
o
λ v1 − 1 v2 = 0.
y la ecuaci´n generada a partir de una combinaci´n lineal de los vectores de S tiene una soluci´n
o
o
o
distinta de la trivial y S es linealmente dependiente.
En la direcci´n contraria, suponga que S = {v1 , v2 } es linealmente dependiente, entonces existe una
o
soluci´n distinta de la trivial de la ecuaci´n
o
o
λ1 v1 + λ2 v2 = 0.
sin p´rdida degeneralidad, suponga que λ1 = 0, entonces existe λ−1 =
e
1

1
λ1 ,

tal que

1
1
(λ1 v1 + λ2 v2 ) =
0=0
λ1
λ1
Por lo tanto

1
1
λ 1 v1 + λ 2 v2 = 0
λ1
λ1

o, finalmente
v1 = −

λ2
v2
λ1

y v1 es un m´ltiplo escalar de v2 .
u
4.

Cualquier conjunto que contenga un conjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.
Sea S = {v1 , v2 , . . . , vn } un...