matematicas

UNITAT 1

SISTEMES D’EQUACIONS.
MÈTODE DE GAUSS

Pàgina 11
Equacions i incògnites. Sistemes d’equacions
1. Podem dir que les dues equacions següents són dues “dades diferents”? No és
cert que la segona diu el mateix que la primera?
 2x + y = 5

 4x + 2y = 10
Representa-les gràficament i observa
que es tracta de la mateixa recta.
Es tracta de la mateixa recta.
1
1
4x + 2y = 102x + y = 5

Posa un altre sistema de dues equacions amb dues incògnites en què la segona equació sigui, en essència, igual que la primera. Interpreta’l gràficament.
x + y = 1

3x + 3y = 3 
Gràficament són la mateixa recta:

1
1

x+y=1
3x + 3y = 3

Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

41

2. Observa les equacions següents:
 2x + y = 5

 x– y=1
 x + 2y = 4
Representa-les i observa que les dues
primeres rectes determinen un punt
(amb aquestes dues dades es responen les dues preguntes: x = 2, y = 1)
i que la tercera recta també passa per
aquest punt.

x–y=1

x + 2y = 4

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5

Pensa una altra equació que també sigui “conseqüència” de les dues primeres (per exemple: 2 · 1a + 3 · 2a),
representa-la i observaque també
passa per x = 2, y = 1.

x–y=1

x + 2y = 4

2 · 1a + 3 · 2a → 7x – y = 13

(2, 1)

1
1

2

2x + y = 5
7x – y = 13

3. Observa que el que diu la segona equació és contradictori amb el que diu la primera:
 2x + y = 5

 2x + y = 7
Representa-les i observa que es tracta de dues rectes paral·leles, és a dir,
no tenen solució comuna, perquè les
rectes no es tallenen cap punt.
1
1

2
2x + y = 7

2x + y = 5

Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

42

Modifica el terme independent de la segona equació del sistema que has inventat en l’exercici 1 i representa de nou les dues rectes.
Observa que el que diuen ambdues
equacions és ara contradictori i que
es representen mitjançant rectes paral·leles.
x+ y=
3x + 3y =

1

0Rectes paral·leles:

1
1
x+y=1

3x + 3y = 0

Pàgina 13
1. Sense resoldre’ls, explica per què són equivalents aquests sistemes:
 x+y=5
a) 
 2x – y = 7

 x+y= 5

= 12
 3x

 x+ y–z= 5

c)  x + y
= 7
 2x + 2y – z = 12


x+y–z=5
b) 
=7
x+y


z=2

x+ y
=7



z=2

x+y
=7


 x + y – z = 11  x + y – z = 11
d) 

y
= –4
 x + 2y – z = 7 a) Hem substituït la segona equació pel resultat de sumar les dues que teníem.
b) Hem substituït la primera equació pel resultat de restar a la segona equació la primera.
c) En el primer sistema, la tercera equació s’obté sumant les dues primeres. La resta és
igual que a b).
d) Hem substituït la segona equació pel resultat de restar a la segona equació la primera.

Pàgina 15
2. Resol iinterpreta geomètricament els sistemes següents:
 2x + y = 1

a)  3x + 2y = 4
 x+ y=3


x+ y+z=6

b) 
y–z=1
 x + 2y
=7


a) 2x + y = 1  → y = 1 – 2x 


3x + 2y = 4 

x+ y=3  → y=3 – x 


Unitat 1. Sistemes d’equacions. Mètode de Gauss

x+y+z=6

c)  x + y + z = 0
x
–z=0


1 – 2x = 3 – x → x = –2,

x+y+z=6

d) 
y–z=1

z=1


y = 3– (–2) = 5

43

Comprovem si compleix la 2.a equació: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4.
Solució: x = –2, y = 5. Són tres rectes que es tallen en el punt (–2, 5).
b) x + y + z = 6
y–z=1
x + 2y
=7


 La 3.a equació s’obté sumant les dues primeres;

 podem prescindir-ne.


x + y = 6 – z  x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z

y=1+z  y=1+z
Solució: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z= λ. Són tres plans que es tallen en una recta.
c) x + y + z = 6 

x+ y+z=0 
x
–z=0 


Les dues primeres equacions són contradictòries.
El sistema és incompatible.
Els dos primers plans són paral·lels i el tercer els talla.

d) x + y + z = 6 

y–z=1 
z=1 


z=1
y=1+z=2
x=6–y–z=6–2–1=3

Solució: x = 3, y = 2, z = 1. Són tres plans que es tallen en el punt (3, 2,...