Matematicas

Cap´
ıtulo 1

Los N´ meros Reales
u

1.1.

Introducci´n.
o

En este primer cap´
ıtulo del libro introducimos el sistema de los N´meros
u
Reales, que es la base sobre la cual se desarrolla el An´lisis Matem´tico. Los
a
a
matem´ticos griegos, cuyo inter´s fundamental fue la Geometr´ sab´ que los
a
e
ıa,
ıan
n´meros racionales, es decir, cocientes de enteros, no bastan paraasignar una
u
longitud num´rica a cada segmento de recta. En efecto, un tri´ngulo rect´ngulo
e
a
a
de catetos de longitud 1 debe tener, por el Teorema de Pit´goras, una hipotenusa
a
de longitud d con d2 = 2, y es f´cil ver que ning´n n´mero racional tiene esta
a
uu
propiedad: supongamos d = a/b donde a y b son enteros y no son ambos pares.
Si d2 = 2, tenemos 2b2 = a2 y por lo tanto a espar, digamos a = 2c, pero
entonces b2 = 2c2 y b tambi´n es par, lo cual es una contradicci´n. Al n´mero
e
o
u
que corresponde a la longitud de la hipotenusa de este tri´ngulo (que no es un
a
√
n´mero racional) lo llamamos ra´ de dos y lo denotamos 2. Para poder incluir
u
ız
estos n´meros es necesario extender el conjunto de los n´meros racionales.
u
u
Comenzamos este cap´
ıtulopostulando la existencia de un conjunto R, cuyos
elementos llamaremos n´meros reales, junto con las operaciones de suma y mulu
tiplicaci´n y una relaci´n de orden, que tomados en conjunto satisfacen trece
o
o
axiomas. Estos axiomas definen lo que conocemos como un Cuerpo Ordenado
Completo, y constituyen la respuesta a la pregunta ¿Qu´ son los n´meros reales?
e
u
La prueba de que esta estructurade Cuerpo Ordenado Completo existe (y es
unica) depende de las hip´tesis iniciales. En nuestro caso simplemente listare´
o
mos los axiomas que definen a un Cuerpo Ordenado Completo y supondremos
la existencia de este objeto.
Es posible seguir un camino constructivo para responder la pregunta del
parr´fo anterior, es decir, es posible, partiendo de los N´meros Racionales o
a
u
incluso deestructuras m´s elementales como los N´meros Naturales o axiomas
a
u
b´sicos de la Teor´ de Conjuntos, construir un conjunto con operaciones de
a
ıa

´
CAP´
ITULO 1. LOS NUMEROS REALES

2

suma y multiplicaci´n y una relaci´n de orden, que satisfacen los axiomas que
o
o
vamos a listar en este cap´
ıtulo y que constituyen lo que conocemos como los
N´meros Reales. Hay variasmaneras de hacer esta construcci´n. En los ejercicios
u
o
complementarios al final del cap´
ıtulo presentamos, como problema a resolver,
una sucesi´n de ejercicios que lleva a esta construcci´n a trav´s del m´todo de
o
o
e
e
Dedekind.

1.2.

Axiomas para los N´ meros Reales.
u

Suponemos la existencia de una cu´drupla (R, +, ·, a. La relaci´n ≤ se define por a ≤ b si y
e
o
s´lo si a o
o
(xi) relaciona el orden < con las funciones + y ·.

Definici´n 1.1 Para cualquier a ∈ R, el m´dulo o valor absoluto |a| se define
o
o
como sigue:
x,
si x ≥ 0,
|x| =
−x, si no.

Ejercicios 1.3
1. Usando los axiomas (i)-(xii) demuestre lo siguiente:
a) Para cualesquiera a, b, c en R, a < b y b < c implican a < c;a ≤ b y b ≤ c
implican a ≤ c; es decir, las relaciones < y ≤ son transitivas. La relaci´n
o
≤ es reflexiva (a ≤ a) mientras que < no lo es.
b) Si a y b est´n en R, a ≤ b y b ≤ a, entonces a = b.
a
a
c) Si a, b y c est´n en R y a > b, entonces a + c > b + c; si c > 0 entonces
ac > bc; si c < 0 entonces ac < bc.
d) Si a ∈ R y a = 0 entonces a · a > 0. En consecuencia 1 > 0.
e) Paracualquier a en R, a > 0 si y s´lo si −a < 0.
o
f) Si a ∈ R y a > 0 entonces a−1 > 0; si a < 0, entonces a−1 < 0.
g) Para cualesquiera a, b, c en R, a − b < a − c si y s´lo si b > c.
o

´
1.3. LOS NUMEROS NATURALES

5

h) Si a y b est´n en R, a > b > 0 implica 0 < a−1 < b−1 , mientras que
a
a < b < 0 implica b−1 < a−1 < 0.
i) Para cualesquiera a y b en R, con a > 0 y b > 0, a > b ⇔ a · a >...

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