matematicas

LA CICLOIDE, UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE

CARLOS S. CHINEA

LA CICLOIDE

UNA CURVA DE MUCHO EMPAQUE
0.
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Una breve introducción.
Ecuaciones paramétricas
La tangente y la normal en un punto.
Longitud de un arco.
El área que barre un arco.
Las curiosas propiedades de la cicloide.
Documentación.

0. Una breve introducción:
La Cicloide puede ser definida comola curva plana que es descrita físicamente
por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda
sobre una recta horizontal.
Es inmediato que si pensamos en el punto de contacto de la circunferencia
con la recta en el instante inicial del comienzo del rodamiento, este punto
describe un arco hasta volver a tocar de nuevo la recta horizontal sobre la
cual se produce larodadura de la circunferencia. Este arco, pues, estará
encerrando un área plana sobre dicha recta horizontal en el intervalo [0, 2πR].
π

Aun cuando parece ser que fue Galileo Galilei (1564-1642) el primero en
estudiar esta curiosa curva, sin embargo, la historia de la Cicloide como
objeto del quehacer fisicomatemático en Europa arranca desde 1637, unos
pocos años antes de la muerte deeste gran científico.
Marín Mersenne (1588-1648), el monje amigo de Descartes, publicó en 1637,
en su "Armonía Universal", el trabajo de Gilles P. Roberval (
Senlis, 1602-

DIVULGACIÓN DE LA MATEMATICA EN LA RED.

ENERO 2002

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París, 1675), en el que se había logrado, entre otras cosas, el cálculo exacto
del área barridasobre la recta horizontal por un arco de Cicloide.
René Descartes obtuvo, de una forma efectiva y elegante, la recta tangente en
un punto del arco de cicloide con una técnica que ha sido seguida después por
el desarrollo de la geometría diferencial.
Ya en 1658 fue cuando Blas Pascal (1632-1662), en un famoso desafío a los
científicos europeos de la época, proponía determinar la longitud de unarco
de la Cicloide y también su centro de gravedad, así como la superficie del
volumen de revolución que engendra el área plana que barre el arco de
cicloide al girar ya sea entorno al eje x, o entorno al eje y, o bien, entorno al
eje de simetría del arco de Cicloide.
Fueron, en definitiva, muchos los esfuerzos realizados en el siglo XVII para
tratar de comprender esta curva y suspropiedades, tanto geométricas como
físicas, que han permitido desarrollar, después, un gran número de
aplicaciones.

1. Ecuaciones paramétricas:

Para obtener las ecuaciones paramétricas de la Cicloide bastará tener en
cuenta en la figura que, puesto que la circunferencia no se desliza, sino que
rueda, el arco PB y la distancia rectilínea OB coinciden: OB = arco(PB).
Así, pues, para un puntogenérico cualquiera P(x,y) de la Cicloide, se tiene,
llamando R al radio de la circunferencia y α al ángulo en el centro:

x = OA = OB − AB = arco( PB) − PD.senα = R.α − R.senα = R.(α − senα)
y = PA = DB − DC = DB − PD. cos α = R − R. cos α = R.(1 − cos α)
En definitiva, las ecuaciones paramétricas son:

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 x = R.(α − senα)

 y = R.(1 − cos α)

2. La tangente y la normal en un punto:
La recta tangente a una curva plana cualquiera y = f(x), en el punto P(x0, y 0)
es de la forma

y − y0 =

dy
( x − x0 )
dx

Y la ecuación de la normal en dicho punto:

y − y0 = −

1
( x − x0 )
dy
dx

En el caso de la Cicloide, se tiene:

dx
dy
dy
sen α
= R(1 − cos α),
= R.senα →
=
dα
dα
dx (1 − cos α)
En definitiva, al sustituir:
Tangente a la Cicloide en P(x0, y 0):

y − y0 =

1 − cos α
sen α
.( x − x0 ) → y − R.(1 − cos α) =
.( x − R.(α − sen α))
senα
(1 − cos α)

quitando denominadores y simplificando:

sen α.x + (cos α − 1). y + .R.( 2 − α.sen α − 2. cos α) = 0

Normal a la Cicloide en P(x0, y 0):

y − y0 =

senα...