Matematicas

ntegrales de funciones trigonométricas

A continuación veremos algunas reglas para integrar cierto tipo de funciones
trigonométricas, que posteriormente se utilizarán en el método desustitución
trigonométrica.

I. Potencias de senos y cosenos dxxdxxsen nn
∫ ∫
cos
Para resolver este tipo de integrales, consideraremos dos casos:

a) Si n es impar, es decir n = 2k +1,factorizamos el integrando, por ejemplo

senn
x dx = sen2k+1
x dx = (sen2
x)
k
senx dx

Utilizamos la identidad sen2
x + cos
2
x =1 y tomamos el cambio de variable u =cosx.

Demanera análoga en el caso de las potencias del coseno, tomando el cambio de variable
u= senx.

b) Si n es par, es decir n = 2k, factorizamos el integrando, por ejemplo

senn
x = sen2kx = (sen2
x)
k


ó en el caso del coseno

cos
n
x = cos
2k
x = (cos
2
x)
k


y utilizamos las identidades trigonométricas:

2
)2cos(1
cos
2
)2cos(1 22 x
xó
xxsen
+
=
−
=

Ejemplo 1. Resolver dxxsen
∫
3

Solución:


dxsenx)xcos1(dxsenxxsendxxsen 223
∫ ∫ ∫
−==
sea u = cosx, entonces du = -senx, y al sustituir en la integralobtenemos:

c x
x
c u
u
du u dx senx x dx x sen + − = + − = − − = − =
∫ ∫ ∫
cos
3
cos
3
) 1 ( ) cos 1 (
3 3
2 2 3



Ejemplo 2. Resolver dx x
∫
5
cos
Solución:
dx x xsen dx x x dx x cos ) 1 ( cos ) (cos cos
2
2
2
2 5
∫ ∫ ∫
− = =


sea u = senx, entonces du = cosx, y al sustituir en la integral obtenemos:

c
x sen x sen
senx c
u u
u du u u du udx x + + − = + + − = + − = − =
∫ ∫ ∫ 5 3
2
5 3
2
) 2 1 ( ) 1 ( cos
5 3 5 3
4 2
2
2 5


Ejemplo 3. Resolver
∫
dx x sen4

Solución:
∫ ∫ ∫ ∫
+ − =
−
= = dx x x dx
x
dx xsen dx x sen )) 2 ( cos ) 2 cos( 2 1 (
4
1
)
2
) 2 cos( 1
( ) (
2
2
2 2 4


=
∫∫ ∫
+ − dx x dx x dx ) 2 ( cos
4
1
) 2 cos(
2
1
4
1 2



II. Productos de...