matematicas

MÉTODO DE EULER MEJORADO 
Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 
La fórmula esla siguiente: 
 
donde
 
Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica: 

En la gráfica, vemos que la pendiente promediocorresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la “recta tangente” a la curva en el punto , donde es la aproximación obtenidacon la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en el punto como laaproximación de Euler mejorada. 
Ejemplo 1
Aplicar el método de Euler mejorado, para aproximar si: 


Solución
Vemos que este es el mismo ejemplo 1 del método anterior. Así que definimos yencontraremos la aproximación después de cinco iteraciones. A diferencia del método de Euler 1, en cada iteración requerimos de dos cálculos en vez de uno solo: el de primero y posteriormente el de .Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dos iteraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos los siguientes datos iniciales: 
 
En nuestra primera iteración tenemos:Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y es el único valor que va a coincidir, pues para calcular se usará y no .
Esto lo veremos claramente en la siguiente iteración:Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de . El proceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: 
n


0
0
1
1
0.11.01
2
0.2
1.040704
3
0.3
1.093988
4
0.4
1.173192
5
0.5
1.28336
Concluímos entonces que la aproximación obtenida con el método de Euler mejorado es: 

Con fines de...