Matematicas

Universidad de Chile.

Rodrigo Assar

M A34B − 3

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas

Andrés Iturriaga

Departamento de Ingeniería Matemática.

Víctor Riquelme

Distribución Multinomial
Resumen
En el presente artículo se presenta una introducción a la

distribución multinomial.

Se trata la distribución de un vector aleatorio de frecuencias, la relacion entre la dist.multinomial y la dist. binomial, esperanza, varianza y ejemplos.

1.

Introducción

Considere una población con artículos pertenecientes a

k categorias distintas. Supongase que

se extrae un artículo de dicha población, y se quiere ver de que tipo es. Podemos modelar lo
anterior por una variable aleatoria
mos

y1 , . . . , y k

X,

que indica a que categoría pertenece elartículo. Llame-

a las distintas categorias. Entonces X toma valores en el conjunto

y denimos las probabilidades

pi = P (X = yi ).

Es claro que

Supongase ahora que se toma una MAS de tamaño

n

k
i=1

distribucion de

N

i−ésima

es una multinomial de parametros

n
n1 , . . . , n k

=

N = (N1 , . . . , Nk ) que indica

la frecuencia de ocurrencia del tipo

P (N1 =n1 , . . . , Nk = nk ) =

con

pi = 1.

con reposición (o si el tamaño de la

población es grande da lo mismo). Denamos el vector aleatorio
en cada componente

n
n1 , . . . , n k

n!
n1 !n2 ! . . . nk !
1

n

y

{y1 , . . . , yk },

yi

en la MAS. Entonces la

p = (p1 , . . . , pk ):

p1 n1 . . . pk nk 1{Pk

i=1

ni =n}

(n1 , . . . , nk )

2

2

DEDONDE VIENE?

2.

De donde viene?

La deducción tiene dos patas:

La parte de las probabilidades
El coeciente que acompaña, asociado a

(n1 , . . . , nk ),

que llamaremos

α(n1 ,...,nk ) .

Primero, la parte de las probabilidades es relativamente facil. Es convencerse que la probabilidad de obtener una conguración de
objetos de tipo

yk

n1

objetos de tipo

y1 , n2objetos de tipo

(si no importara el orden en que salen con respecto al total) es

y 2 ,. . . , n k

p1 n1 . . . pk nk .

La segunda parte tiene que ver con la cantidad de las conguraciones anteriores posibles.
Para ello, denamos:

α1 ={numero

de formas de elegir

n1

art. de tipo

=
α2 ={numero

de formas de elegir

n2

entre los

n

disponibles}

n!
(n − n1)!n1 !

art. de tipo

=

y1

y2

entre los

n − n1

restantes disponibles}

(n − n1 )!
(n − n1 − n2 )!n2 !
.
.
.

αk−1 ={numero

de formas de elegir

nk−1

art. de tipo

yk−1

entre los

n − n1 − . . . − nk−2

restantes disponibles}

=

(n − n1 − . . . − nk−2 )!
(n − n1 − . . . − nk−2 − nk−1 )!nk−1 !

αk ={numero de formas de elegir nk

art. de tipo

ykentre los

n−n1 −. . .−nk−2 −nk−1 = nk

disponibles}

=1=

(n − n1 − . . . − nk−1 )!
(n − n1 − . . . − nk−1 − nk )!nk !

Es relativamente facil convencerse de que

α(n1 ,...,nk ) = α1 . . . αk ,

expresion de la derecha se obtiene el coeciente multinomial.

y desarrollando un poco la

3

3

RELACIONES ENTRE MULTINOMIAL Y BINOMIAL

3.

Relaciones entre Multinomial yBinomial

k = 2,

Para el caso en que

uno se puede convencer que la distribución multinomial coin-

cide con la binomial: interpretando que si no se está en la categoría
categoría

y1 .

Como

n2 = n − n1 .
ne que

p1 + p2 = 1, q ≡ p2 = 1 − p1

n

se está fuera de la

p = p1 .

De igual forma,

Reemplazando en la distribución multinomial los valores anteriores, seobtie-

P (N1 = n1 , N2 = n2 ) = P (N1 = n1 ),

parámetros

y denimos

y1 ,

donde

N1

se distribuye como una binomial de

p = p1 .

y

Para el caso en que se tienen

k

categorías nos interesará la distribución marginal de

Ni .

Primero, si seguimos el razonamiento anterior, el hecho que no se seleccione un elemento de
la categoría

yi

signica que se...