Matematicas

JOHN SEBASTIÁN RAMÍREZ
ECONOMÍA MATEMÁTICA
SEPTIEMBRE 26 / 2012

TALLER ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

Todas las ecuaciones diferenciales exactas debende tener la forma m(x,y)dx+n(x,y)dy=0 algunas ecuaciones que no se escriben de esta forma pueden ser exactas pero hay que comprobarlas de la siguiente formamδ/δy=nδ/δx (derivada parcial de m con respecto a e igual a la derivada parcial de n con respecto a x).
EJEMPLOS:
(5X+4Y)dx+(4x-8y^3 )dy=0
(4y+yx^2 )dy-(2x+xy^2)dx=0

Para solucionar la ecuaciones diferenciales exactas, primero hay que comprobar si son exactas se utiliza el método mδ/δy=nδ/δx , luego de verificar ysaber que son exactas se sustituye con la siguiente formula f(x,y)=[∫▒〖m(x,y)dx+∫▒〖n(x,y)-δ/δy de la∫▒m(x,y)dx〗〗]dy.
EJEMPLO:
(4y+yx^2 )dy-(2x+xy^2 )dx=0M=dx, N= dy
mδ/δy=-2xy nδ/δx=2xy
Se pueden ver que son iguales las dos derivadas parciales solo cambian el signo, lo que podemos hacer es pasar el dx(que tiene el signo negativo) a sumar.
(4y+yx^2 )dy=(2x+xy^2 )dx
Hacemos la misma comprobación mδ/δy=nδ/δx y vemos que nos dará igual 2xy=2xy
Ahora losustituimos:
f(x,y)=[∫▒〖(2x+xy^2 )dx+∫▒〖(4y+yx^2 )dy-δ/δy de la∫▒(2x+xy^2 )dx〗〗]dy
= [x^2+1/2 x^2 y^2+∫▒〖(4y+yx^2 )dy-δ/δy de la x^2+1/2 x^2 y^2 〗]dyComo en la ultima parte solo necesitamos la derivada parcial de y se puede quitar la x^2.
Hacemos la derivada parcial con respecto a y

= [x^2+1/2 x^2y^2+∫▒(4y+yx^2 )dy-x^2 y]dy
Lo términos semejante se eliminan (yx^2-x^2 y)
Hacemos la integral que falta

=x^2+1/2 x^2 y^2+2y^2+c esta es la respuesta al ejemplo.