Matematicas

Campo Vectorial
Def. Sean M y N funciones de x y y definidas en la región plana R. La función F(x,y) definida por: Fx,y=Mi+Nj, se llama Campo Vectorial sobre R. Si M, N y P son funciones de x, y, z definidas sobre una región sólida Q del espacio, Fx,y,z=Mi+Nj+Pk, se llama Campo Vectorial sobre Q.
Por ejemplo, el gradiente de fx,y,z es un Campo Vectorial.
∇fx,y,z=fxx,y,zi+fyx,y,zj+fz(x,y,z)k,donde M=fx; N=fy; P=fz


Campos Cuadráticos Inversos: Si rt=x(t)i+y(t)j+z(t)k es el vector de posición y el Campo Vectorial Fx,y,z es un Campo Cuadrático Inverso si: Fx,y,z=kr2u, donde k∈R y u es un vector unitario en dirección de r.

Campos Vectoriales Conservativos y Funciones Potencial:
El Campo Vectorial F es conservativo si existe una Función Potencial f tal que ∇f=F. La función f sellama Función Potencial del Campo Vectorial F. Por ejemplo el Campo Vectorial Fx,y=2xi+yj es conservativo, ya que existe fx,y=x2+12y2 tal que: ∇fx,y=2x,y=F.
Nota: Todo Campo Cuadrático inverso es conservativo.

Criterios de los Campos Vectoriales Conservativos en el Plano:
Si M y N son funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R. El Campo Vectorial F(x,y)=Mi+Njes conservativo si y solo si: ∂M∂y=∂N∂x.

Rotacional de un Campo Vectorial:
Sea Fx,y,z=Mi+Nj+Pk, el Rotacional de F denotado por rotFx,y,z, se define:
rotFx,y,z=∇×Fx,y,z=ijk∂∂x∂∂y∂∂zMNP
rotFx,y,z=∂P∂y-∂N∂zi-∂P∂x-∂M∂zj+∂N∂x-∂M∂yk
Nota: Si rotFx,y,z=O, entonces F es un campo irrotacional. rot∇fx,y,z=∇×∇fx,y,z=O

Criterios de los Campos Vectoriales Conservativos en el Espacio:
Si M, N y Pson funciones con primeras derivadas parciales continuas en una esfera abierta Q. El Campo Vectorial Fx,y,z=Mi+Nj+Pk es conservativo si y solo si: rotFx,y,z=O. Es decir, F es conservativo si y solo si: ∂P∂y=∂N∂z; ∂P∂x=∂M∂z; ∂N∂x=∂M∂y

Divergencia de un Campo Vectorial:
Si Fx,y,z=Mi+Nj+Pk, es un Campo Vectorial, la Divergencia de F denotada por:divFx,y,z=∇∙Fx,y,z=∂∂x,∂∂y,∂∂z∙M,N,P⇒divFx,y,z=∂M∂x+∂N∂y+∂P∂z
Nota: divrotFx,y,z=0; div∇fx,y,z=fxx+fyy+fzz

Integral de Línea:
Curva Suave: Si C es una curva dada rt=x(t)i+y(t)j+z(t)k, con a≤t≤b, si x't, y't, z'(t) son continuas y no se anulan simultáneamente (r't≠O) entonces C es suave. La curva C es suave a trozo si el intervalo [a,b] se divide en un número infinito de intervalo donde C es también suave.
Def. Si f esta definida en una región abierta quecontiene una curva suave C, de longitud finita, entonces la Integral de Línea de f a lo largo de C, se define por:
Cfx,yds=lim∆→0i=1nf(xi,yi)∆si (Plano)
Cfx,y,zds=lim∆→0i=1nfxi,yi,zi∆si (Espacio)
Si el limite existe.
La Integral de Línea se evalúa como una integral definida, esto se logra si C es continua. Si C esta dada por: rt=x(t)i+y(t)j+z(t)k, entonces: ds=rtdt=x'(t)2+y'(t)2+z'(t)2dt.Donde a≤t≤b, entonces:
Cfx,y,zds=abf[xt,yt,zt]x'(t)2+y'(t)2+z'(t)2dt

Integral de Línea de Campos Vectoriales:
Sea F un Campo Vectorial, continuo sobre una curva suave C, dada por: rt=x(t)i+y(t)j+z(t)k, donde a≤t≤b. La Integral de Línea de F sobre C se define por:
CF∙dr=CF∙Tds=abFxt,yt,zt∙r'dt (fisicamente mide trabajo)
En forma diferencial: Si Fx,y,z=Mi+Nj+Pk y la curva C esta dada porrt=x(t)i+y(t)j+z(t)k, donde a≤t≤b, entonces:
CF∙dr=CF∙drdtdt=abM,N,P∙dxdt,dydt,dzdtdt=abMdxdt+Ndydt+Pdzdtdt
CF∙dr=CMdx+Ndy+Pdz
Normalmente se escribe:

Teorema Fundamental de la Integral de Línea:
Sea C una curva suave a trozos en una región R y dada por: rt=x(t)i+y(t)j+z(t)k, con a≤t≤b, si Fx,y,z=Mi+Nj+Pk es conservativo en R, siendo M, N y P continuasen R, entonces:
CF∙dr=C∇f∙dr=fxb,yb,zb-f[xa,ya,za]
Donde f es una Función Potencial de F, esto es: Fx,y,z=∇f(x,y,z). También indica que la integral es Independiente de la Trayectoria.

Teorema de Green:
Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientado en sentido antihorario.

Si M, N y P tienen primeras derivadas parciales...