matematicas

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
´
MATEMATICAS PARA LA ECONOM´ II
IA
PROBLEMAS (SOLUCIONES )

HOJA 4: Derivadas de orden superior
2

4-1. Sea u : R → R definida por u(x, y) = ex sen y. Calcula las cuatro parciales segundas, es decir el hessiano
D2 u. Comprobar que se verifica la igualdad de las derivadas cruzadas.
4-2. Sea la funci´n cuadr´tica Q : R3 → R definida por Q(x, y, z) = x2 +5y 2 + 4xy − 2yz. Calcular la matriz
o
a
hessiana D2 Q.
4-3. Dada f (x, y, z) = ez +

1
x

+ xe−y , con x = 0, calcular:
∂2f
,
∂x2

∂2f
,
∂x∂y

∂2f
,
∂y∂x

∂2f
∂y 2

4-4. Sea z = f (x, y), x = at, y = bt donde a y b son constantes. Se considera z como una funci´n de t. Hallar
o
en t´rminos de a, b y de las derivadas parciales de segundo orden de f : fxx , fyy y fxy .
ed2 z
dt2

4-5. Sea f (x, y) = 3x2 y + 4x3 y 4 − 7x9 y 4 . Calcular la matriz hessiana D2 Q.
4-6. Sean f, g : R2 → R dos funciones cuyas derivadas parciales son continuas en todo R2 y tales que existe una
funci´n h : R2 → R tal que (f, g) = h, es decir,
o
f (x, y) =

∂h
∂h
(x, y) g(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y

para todos los puntos (x, y) ∈ R2 . ¿Qu´ ecuaci´n deben verificar
e
o
∂f∂y

y

∂g
?
∂x

4-7. La demanda de un consumidor est´ determinada por un sistema de ecuaciones de la forma
a
∂u
= λp1
∂x
∂u
= λp2
∂y
p1 x + p2 y = m
donde u(x, y) es la funci´n de utilidad del agente, p1 y p2 son los precios de los bienes, m es la renta del
o
agente y λ ∈ R. Suponiendo que este sistema determina a x, y y λ en funci´n del resto de los par´metros,
o
a
calcular∂x
∂p1
4-8. Dado el sistema de ecuaciones
z 2 + t − xy

=

0

2

=

y2

zt + x

(a) Probar que este sistema de ecuaciones determina a z y t como funciones diferenciables de x, y en un
entorno del punto (1, 0, 1, −1).
(b) Calcular las derivadas parciales de z y t respecto a x, y en el punto (1, 0).
(c) Sin resolver el sistema, ¿cu´l es el valor aproximado de z(1 001, 0 002)
a(d) Calcular
∂2z
(1, 0)
∂x∂y
1

2

4-9. Dado el sistema de ecuaciones
xt3 + z − y 2

=

0

4zt = x − 4
(a) Probar que este sistema de ecuaciones determina a z y t como funciones diferenciables de x, y en un
entorno del punto (0, 1, 1, −1).
(b) Calcular las derivadas parciales de z y t respecto a x, y en el punto (0, 1).
(c) Sin resolver el sistema, ¿cu´l es el valor aproximadode z(0 001, 1 002)
a
(d) Calcular
∂2z
(0, 1)
∂x∂y
4-10. Encontrar la aproximaci´n polin´mica de las siguientes funciones hasta el grado 2:
o
o
(a) f (x, y) = ln(1 + x + 2y) en (2, 1).
(b) f (x, y) = x3 + 3x2 y + 6xy 2 − 5x2 + 3xy 2 en (1, 2).
(c) f (x, y) = ex+y en (0, 0).
(d) f (x, y) = sen(xy) + cos(xy) en (0, 0).
(e) f (x, y, z) = x − y 2 + xz en (1, 0, 3).
4-11. Dada la formacuadr´tica Q (x, y, z) = x2 − 2axy − 2xz + y 2 + 4yz + 5z 2 ¿para qu´ valores del par´metro a
a
e
a
es definida positiva?
4-12. Estudiar el signo de las siguientes formas cuadr´ticas por el m´todo de los menores principales.
a
e
(a) Q1 (x, y, z) = x2 + 7y 2 + 8z 2 − 6xy + 4xz − 10yz.
(b) Q2 (x, y, z) = −2y 2 − z 2 + 2xy + 2xz + 4yz.
4-13. Estudiar los valores que debe tomar a para que laforma cuadr´tica Q (x, y, z) = ax2 + 4ay 2 + 4az 2 + 4xy +
a
2axz + 4yz sea:
(a) Definida positiva.
(b) Definida negativa.
4-14. Clasificar las siguientes formas cuadr´ticas dependiendo de los par´metros.
a
a
a) Q(x, y, z) = 9x2 + 3y 2 + z 2 + 2axz
b) Q(x1 , x2 , x3 ) = x2 + 4x2 + bx2 + 2ax1 x2 + 2x2 x3
1
2
3

4-15. Sea u : Rn → R una funci´n c´ncava, es decir, para
o o
cualquier v1 ,v2 ∈ Rn y λ ∈ [0, 1], se verifica que
u(λv1 + (1 − λ)v2 ) ≥ λu(v1 ) + (1 − λ)u(v2 ). Demuestra que S = {v ∈ Rn : u(v) ≥ k} es un conjunto
convexo. En particular, si u : R2 → R es c´ncava, la
o
gr´fica de la figura representa a S = {v = (x, y) ∈
a
R2 : u(x, y) ≥ k}.

u(x, y) ≥ k

4-16. ¿C´mo ser´ el enunciado del problema anterior para una funci´n convexa u : Rn → R?
o
ıa
o
4-17....