matematicas
Páginas: 5 (1218 palabras)
Publicado: 12 de octubre de 2014
Ceros de Funciones
“M´todo Gr´fico”
e
a
Alex Neri Gutierrez
anerig@upao.edu.pe
Trujillo, Agosto del 2014
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico
e
a
Definici´n
o
Un n´mero real ξ es un cero de la funci´n f o una ra´ de la
u
o
ız
ecuaci´n f (x) = 0 si f (ξ) = 0.
o
f(x)
f(x)
x
(a)
(b)
f(x)
(c)Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
x
x
M´todo Gr´fico
e
a
La idea central de estos m´todos es considerar una aproximaci´n
e
o
inicial para la ra´ y en seguida refinar esa aproximaci´n a trav´s de
ız
o
e
un proceso iterativo. Por tanto, los m´todos constan de dos fases:
e
Fase 1: Localizaci´n o aislamiento de las ra´
o
ıces, que consiste
en obtener un intervalo quecontiene la ra´
ız.
Fase 2: Refinamiento, que consiste en, escogidas las
aproximaciones iniciales en el intervalo encontrado en la fase 1,
mejorarlas sucesivamente y obtener una aproximaci´n para la
o
ra´ dentro de una precisi´n prefijada.
ız
o
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Teorema
Sea f una funci´n continua en el intervalo [a, b]. Si f(a).f (b) < 0
o
entonces existe por lo menos un punto x = ξ entre a y b que es
cero de f .
f(x)
f(x)
a
a
b
x
(a)
Alex N. – UPAO–2014
(b)
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico
e
a
f(x)
a
(c)
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Sobre la hip´tesis delteorema anterior, si f existe y preserva signo
o
en (a, b), entonces este intervalo contiene un unico cero de f .
´
f(x)
f(x)
b
a
b
x
f '( x) 0, x [a, b]
Alex N. – UPAO–2014
a
f '( x) 0,
Ceros de Funciones
x
x [a, b]
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Si f (a).f (b) > 0 entonces podemos tener varias situaciones en el
intervalo [a, b],conforme muestra los gr´ficos:
a
f(x)
a
b
x
(a)
f(x)
a
f(x)
b
x
a
(b)
Alex N. – UPAO–2014
(c)
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Una forma de localizar las ra´ de f usando los resultados
ıces
anteriores es tabular f para varios valores de x analizando los
cambios de signo de f y el signo dela derivada en los intervalos en
que f cambia de signo.
Ejemplo
Analizar el siguiente caso:
f (x) = x 3 − 9x + 3
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Soluci´n:
o
Construyendo una tabla de valores para f (x) y considerando
solamente los signos, tenemos:
x
f (x)
−∞
-
-10
-
-5
-
-3
+
-1
+
0
+
1
-
2
-
3
+
4
+5
+
Sabiendo que f es continua para cualquier x real y observando las
variaciones de signo, podemos concluir que cada uno de los
intervalos
I1 = [−5, −3], I2 = [0, 1] y I1 = [2, 3] contienen por los menos un
cero de f . Como f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b], podemos afirmar que cada
intervalo contiene un unico cero de f .
´
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
ea
Ejemplo
Analizar el siguiente caso:
f (x) =
Alex N. – UPAO–2014
√
x − 5e −x
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Soluci´n:
o
Tenemos que D(f ) = R + , construyendo una tabla de valores de f
para determinados valores de x tenemos:
x
f (x)
0
-
1
-
2
+
3
+
...
...
Analizando la tabla, vemos que f admite por lo menos un cero en elintervalo I = (1, 2). Para saber que este cero es unico en este
´
intervalo, podemos usar la observaci´n anterior, esto es, analizar el
o
signo de f :
1
f (x) = √ + 5e −x , ∀x > 0.
2 x
As´ mismo, podemos concluir que f admite un unico cero en todo
ı
´
su dominio, y este ser´ en el intervalo I = (1, 2).
a
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Un an´lisis...
“M´todo Gr´fico”
e
a
Alex Neri Gutierrez
anerig@upao.edu.pe
Trujillo, Agosto del 2014
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico
e
a
Definici´n
o
Un n´mero real ξ es un cero de la funci´n f o una ra´ de la
u
o
ız
ecuaci´n f (x) = 0 si f (ξ) = 0.
o
f(x)
f(x)
x
(a)
(b)
f(x)
(c)Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
x
x
M´todo Gr´fico
e
a
La idea central de estos m´todos es considerar una aproximaci´n
e
o
inicial para la ra´ y en seguida refinar esa aproximaci´n a trav´s de
ız
o
e
un proceso iterativo. Por tanto, los m´todos constan de dos fases:
e
Fase 1: Localizaci´n o aislamiento de las ra´
o
ıces, que consiste
en obtener un intervalo quecontiene la ra´
ız.
Fase 2: Refinamiento, que consiste en, escogidas las
aproximaciones iniciales en el intervalo encontrado en la fase 1,
mejorarlas sucesivamente y obtener una aproximaci´n para la
o
ra´ dentro de una precisi´n prefijada.
ız
o
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Teorema
Sea f una funci´n continua en el intervalo [a, b]. Si f(a).f (b) < 0
o
entonces existe por lo menos un punto x = ξ entre a y b que es
cero de f .
f(x)
f(x)
a
a
b
x
(a)
Alex N. – UPAO–2014
(b)
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico
e
a
f(x)
a
(c)
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Sobre la hip´tesis delteorema anterior, si f existe y preserva signo
o
en (a, b), entonces este intervalo contiene un unico cero de f .
´
f(x)
f(x)
b
a
b
x
f '( x) 0, x [a, b]
Alex N. – UPAO–2014
a
f '( x) 0,
Ceros de Funciones
x
x [a, b]
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Si f (a).f (b) > 0 entonces podemos tener varias situaciones en el
intervalo [a, b],conforme muestra los gr´ficos:
a
f(x)
a
b
x
(a)
f(x)
a
f(x)
b
x
a
(b)
Alex N. – UPAO–2014
(c)
Ceros de Funciones
b
x
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Observaci´n
o
Una forma de localizar las ra´ de f usando los resultados
ıces
anteriores es tabular f para varios valores de x analizando los
cambios de signo de f y el signo dela derivada en los intervalos en
que f cambia de signo.
Ejemplo
Analizar el siguiente caso:
f (x) = x 3 − 9x + 3
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Soluci´n:
o
Construyendo una tabla de valores para f (x) y considerando
solamente los signos, tenemos:
x
f (x)
−∞
-
-10
-
-5
-
-3
+
-1
+
0
+
1
-
2
-
3
+
4
+5
+
Sabiendo que f es continua para cualquier x real y observando las
variaciones de signo, podemos concluir que cada uno de los
intervalos
I1 = [−5, −3], I2 = [0, 1] y I1 = [2, 3] contienen por los menos un
cero de f . Como f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b], podemos afirmar que cada
intervalo contiene un unico cero de f .
´
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
ea
Ejemplo
Analizar el siguiente caso:
f (x) =
Alex N. – UPAO–2014
√
x − 5e −x
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
Soluci´n:
o
Tenemos que D(f ) = R + , construyendo una tabla de valores de f
para determinados valores de x tenemos:
x
f (x)
0
-
1
-
2
+
3
+
...
...
Analizando la tabla, vemos que f admite por lo menos un cero en elintervalo I = (1, 2). Para saber que este cero es unico en este
´
intervalo, podemos usar la observaci´n anterior, esto es, analizar el
o
signo de f :
1
f (x) = √ + 5e −x , ∀x > 0.
2 x
As´ mismo, podemos concluir que f admite un unico cero en todo
ı
´
su dominio, y este ser´ en el intervalo I = (1, 2).
a
Alex N. – UPAO–2014
Ceros de Funciones
M´todo Gr´fico: Fase 1
e
a
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