Matematicas

(M-11a) Ejercicios de Trigonometría

Hemos intentado evitar ejercicios repetitivos: cada conjunto es diferente. Hágalos todos, ¡no deje ninguno! Asumimos que dispone de una calculadora que puede deducir senos y cosenos y que también dispone de las funciones sen-1 y cos-1 que sirven para encontrar el ángulo A a partir del senA o el  cosA, en la gama de 0 a 180 grados. 
 
 
Un triánguloABC tiene un ángulo recto C y dos ángulos agudos A y B. Los lados del triángulo AC y BC de ambos lados del ángulo recto C están dados como:
(a) AC = 3     BC = 4
(b) AC = 5     BC = 12
(c) AC = 8     BC = 15
En cada caso, use el teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado y luego encuentre el seno y el coseno de los ángulos A y B.
 
 1. Está ascendiendo por un camino y ve un signo que le indica que tiene 5 grados, o sea que asciende 5 m por cada 100 m de camino. ¿Cuál es el ángulo entre el camino y la dirección horizontal?
 
 
2. Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de 52° con la dirección este. 

El viento está soplando a 30 km/h en la direcciónnoroeste, formando un ángulo de 20º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este?
(La solución está abajo: léala solo después de haber trabajado el problema usted mismo. Los profesores en clase pueden sustituir los números y las direcciones) 
Indiquemos la velocidad del aeroplanorelativa al aire como V, la velocidad del viento relativa a tierra como W, y la velocidad del aeroplano relativa a tierra U=V+W, donde la suma es uno de los vectores. Dibuje un diagrama con las velocidades dadas y con los ángulos adecuadamente designados. 
Para ejecutar la suma real cada vector debe descomponerse en sus componentes. Obtenemos
Vx = 170 cos(52°) = 104.6    Vy = 170 sen(52°) =133.96

Wx = -30 sen(20°) = -10.26     Wy = 30 cos(20°) = 28.19
Sumando:
Ux = 94.4     Uy = 162.15 
De Pitágoras, dado que  U2 = Ux2 + Uy2,             U= 187.63 km/h 
Por consiguiente
cos A = Ux /U = 0.503125
Usando la función cos-1 de la calculadora
A = 59.8° 

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

[pic]Si miramos el triángulo de la izquierda podemos describir tres razones queson intrínsecas de los ángulos agudos, ya que las razones sólamente dependen del ángulo α debido al teorema de Thales.
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• Gracias a estas definiciones podemos calcular razones trigonométricas aproximadamente dibujando y midiendo simplemente.
• Estas razones trigonométricas evidentemente no dependen del triángulo que tracemos sólo dependen del ángulo.

[editar] Ejemplo[pic]Tenemos un triángulo como el de la figura y queremos saber sus razones trigonométricas así que medimos sus tres lados a= 60mm b= 80mm c= 100mm
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[editar] Relaciones entre las razones trigonométricas del mismo ángulo

Las razones trigonometricas, es decir el sin, cos, tan son dependientes, esto quiere decir que si sabemos una, sabemos las tres. Estas relaciones sonlas siguientes:

[editar] Relaciones trigonométricas fundamentales

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Nota importante: El cuadrado de estas razones no se expresa [pic]sino así [pic]Es conveniente que se aprendan, hay que tener en cuenta que la mayor parte (seguramente toda) de la literatura matemática usa esa notación.

[editar] Demostración

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Aplicamos Pitagoras: [pic]
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[editar]Ejemplos

Se conoce el cos 53=0,6 y se quiere calcular cuánto valen [pic]
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Se conoce la tangente de un ángulo [pic]y se quiere calcular cuánto valen [pic]
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[editar] Utilización de la calculadora en trigonometría

Todas las calculadoras científicas del mercado disponen de teclas para las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente. Sin embargo, es importante tener en...