Matematicas

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Axiomas de cuerpo En  admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones se van a verificar las siguientes propiedades: Respecto a la suma: 1. Conmutativa: a  b  b  a ∀a, b ∈ . 2. Asociativa: a  b  c  a  b  c, ∀a, b, c ∈  3. Neutro: ∃ 0 ∈ , tal quea  0  a, ∀a ∈ . 4. Opuesto: Dado a ∈ , ∃ −a ∈  tal que a  −a  0. Respecto al producto: 5. Conmutativa: a  b  b  a, ∀a, b ∈ . 6. Asociativa: a  b  c  a  b  c,

∀a, b, c ∈ . 7. Neutro:∃ 1 ∈ , tal que a  1  a, ∀a ∈ . 8. Existencia de inverso: dado a ∈ , con a ≠ 0, ∃a −1 ∈  tal que a  a −1  1. 9. Propiedad distributiva: a  b  c  a  b  a  c, ∀a, b, c ∈ Consecuencias de los axiomas de cuerpo Proposición: Si a, b, c son números reales, entonces: 1. a  0  0 2. a  b  0  a  0 ó b  0 3. Si a ≠ 0 y a  b  a  c, entonces bc 1.1.2. Axiomas de orden Vamos a definir una relación de orden en , a partir de los dos siguientes axiomas En  existe un subconjunto , llamado de los reales positivos,   , que verifica:

Axioma1: Para cada a ∈  se cumpleuna y sólo una de las siguientes condiciones: i a  0 ii a ∈   iii −a ∈   Axioma 2: Si a y b ∈   entonces a  b ∈  y a  b ∈  Estos axiomas de orden nos permiten definir la relación de orden total que utilizamos habitualmente en  Orden en  Se define el orden en  mediante la relación: a ≤ b  b − a ∈  También podemos definir el orden estricto: a  b a ≤ b ya ≠ b Consecuencias delos axiomas de

orden Sean a, b, c, d ∈ , se verifica: 1. Si a  b y b  c  a  c. 2. Si a  b  a  c  b  c. 3. Si a  b y c ∈    ac  bc. 4. Si a  b y c  0  ac  bc. 5. Si a  b y c  d  a  c  b  d. 6. Si a  0  1  0. a 7. Si ab  0  i a  0 y b  0 o bien, ii a  0 y b  0. 1.1.3 Axioma del supremo Definición: Sea S un conjunto no vacío de números reales, supongamos queexiste un b tal que x ≤ b, ∀x ∈ S, entonces decimos que S está acotado superiormente y que b es una cota superior de S.

Definición: Si b es una cota superior y pertenece al conjunto, diremos que b es el máximo de S. Definición: Diremos que b es el supremo del conjunto S cuando: i b es cota superior. ii b es la menor de las cotas superiores. Definición: Sea S un conjunto no vacío de númerosreales, supongamos que existe un b tal que b ≤ x, ∀x ∈ S, entonces decimos que S está acotado inferiormente y que b es una cota inferior de S. Definición: Si b es una cota inferior y pertenece al conjunto, diremos que b es el mínimo de S. Definición: Diremos que b es el ínfimo del conjunto S cuando:

i b es cota inferior. ii b es la mayor de las cotas inferiores. Observaciones 1. Un conjunto S ⊂, o bien no tiene ninguna cota superior, o bien tiene infinitas. 2. Si existe el máximo de un conjunto, éste es el supremo. Lo mismo con el mínimo. 3. El máximo ó el mínimo de un conjunto acotado no siempre existen. Axioma del supremo: Todo conjunto no vacío de números reales, acotado superiormente, tiene supremo, es decir, ∃b ∈  tal que b  sup S. Lo mismo para el ínfimo. Consecuencias delaxioma del supremo 1. Propiedad Arquimediana

Teorema: Si x ∈ , entonces existe un nx ∈ ℕ / x  nx 2. Densidad de los racionales en los reales. Teorema: Si x e y son dos númeos reales con x  y, entonces existe un número racional r tal que x  r  y. Es mas existen infinitos racionales. 3. Densidad de los irracionales en los reales. Teorema: Si x e y son dos númeos reales con x  y, entoncesexiste un número irracional z tal que x  z  y. 1.1.4 Intervalos A partir del orden establecido se pueden considerar los siguientes tipos de conjuntos en , que se llaman intervalos i Acotados

a, b  x ∈ /a  x  b a, b  x ∈ /a ≤ x ≤ b a, b  x ∈ /a ≤ x  b a, b  x ∈ /a  x ≤ b ii No acotados a,   x ∈ /a  x   a,   x ∈ /a ≤ x   −, a  x ∈ / −   x...