matematicas

Cap´ıtulo 1
C´alculo integral de funciones de una variable
1.1. La integral de Riemann El concepto de integral de una funci´on f en un intervalo [a,b], representado porR b a f(x)dx o m´as simplificadamente porRb a f, est´a intuitivamente ligado al problema de determinar el valor del ´area de la regi´on delimitada por la gr´afica de una funci´on y = f(x), el eje X y las rectas x = a y x = b.
Elprimer concepto que se introduce para intentar formalizar lo que acabamos de decir es el de partici´on del intervalo [a,b]. Definici´on 1.1 Una partici´on P = {t0,t1,...,tn} del intervalo [a,b] es una sucesi´on finita creciente de puntos del intervalo tal que: a = t0 < t1 < ... < tn−1 < tn = b Se define ∆ti = ti −ti−1 para i = 1,...,n. El conjunto de todas las particiones de [a,b] se denota P[a,b].En el conjunto de las particiones P[a,b] se puede definir la relaci´on de orden “ser m´as fina que” de la siguiente manera: Dadas dos particiones P1 y P2 del mismo intervalo [a,b], se dice que P1 es m´as fina que P2, si P2 ⊂ P1 (evidentemente, esto indica que P1 contiene todos los puntos de P2). Es claro que esta relaci´on no es de orden total, ya que, dadas dos particiones no siempre pueden sercomparables. Por ejemplo, las particiones P1 ={0, 1 2,1}y P2 ={0, 1 3, 2 3,1}no son comparables, ya queni P1 es un subconjunto de P2 ni P2 lo es de P1.
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2 Cap´ıtulo 1. C´alculo integral de funciones de una variable
Definici´on 1.2 Sea f : [a,b] ⊂R→R una funci´on acotada en [a,b], y sea P una partici´on del intervalo [a,b]. Si se denotan, para i = 1,...,n: Mi = sup{f(x) : x∈[ti−1,ti]} mi =´ınf{f(x) :x∈[ti−1,ti]} se define la suma superior de f relativa a la partici´on P:
U(f,P) =
n X i=1
Mi ∆ti
y la suma inferior de f relativa a la partici´on P:
L(f,P) =
n X i=1
mi ∆ti
Observaci´on 1.1 Es importante para el alumno destacar que los valores mi y Mi son el´ınfimo y el supremo de la funci´on en cada subintervalo [ti−1,ti] y no necesariamente el m´ınimo y el m´aximo, dado que, en principio,la funci´on f es solamente acotada. Por otra parte, se debe recalcar la idea de que las sumas inferiores y superiores corresponden a aproximar el ´area bajo la curva mediante las ´areas de regiones escalonadas que sean uniones de rect´angulos, o bien por debajo, o bien por encima de la gr´afica, y que proporcionan una aproximaci´on, respectivamente por defecto o por exceso, del valor del ´areadebajo de la curva y = f(x), con x∈[a,b].
A continuaci´on se definen las integrales superior e inferior de Riemann como una especie de paso al l´ımite de las sumas superior e inferior cuando la partici´on se haga tan fina como deseemos:
Definici´on 1.3 Se define la integral superior de Riemann de f en [a,b]: Zb a f =´ınf{U(f,P) : P ∈P[a,b]} y la integral inferior de Riemann de f en [a,b]: Zb a f =sup{L(f,P) : P ∈P[a,b]}
1.1. La integral de Riemann 3
De las definiciones de mi y Mi se ten´ıa que mi ≤Mi, por lo que L(f,P)≤U(f,P), ∀P ∈P[a,b]. Razonando con este y otros conceptos b´asicos se llega a demostrar el siguiente resultado fundamental: Teorema 1.1 Zb a f ≤Zb a f
La desigualdad anterior garantiza que la integral inferior siempre es menor o igual que la integral superior. En principio, nose puede afirmar que ambas sean iguales. De hecho, no siempre coinciden. Ejemplo 1.1 Por ejemplo, si consideramos la funci´on f : [0,1]7→R definida como f(x) = 1 si x ∈ Q, y f(x) = 0 si x ∈ I, se tiene que f es acotada y que para toda partici´on P del intervalo [0,1]:
L(f,P) = 0, U(f,P) = 1.
Por lo tanto,
Zb a
f = 0 < 1 =Zb a
f .
Cuando ambas sean iguales se dir´a que la funci´on es integrableen el sentido de Riemann: Definici´on 1.4 Se dice que f es Riemann integrable en [a,b] (y se denota f ∈ R([a,b])) si y solo si se da la igualdad: Zb a f =Zb a f. A este valor se le denomina la integral de Riemann de f en [a,b], y se denota: Zb a f ≡Zb a f(x)dx
4 Cap´ıtulo 1. C´alculo integral de funciones de una variable
El resultado siguiente proporciona una condici´on necesaria y suficiente...