Matematicas

´ Agueda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

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2. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL 2.2. L´ IMITES
2.2.1. L´ ımite de una funci´n en un punto o
Sea y = f (x) una funci´n definida en un entorno del punto a ∈ R (aunque no, necesariamente, en el o punto). Definici´n intuitiva: Se dice que f tiene l´ o ımite l en el punto a si f (x) tiende a l cuando x tiende a a, yse indica: f (x) −→ l o ´ lim f (x) = l
x→a x→a

Como se ilustra en la siguiente figura, la existencia de l´ ımite y su valor son independientes de que la funci´n est´ definida en el punto y de su valor en dicho punto. o e y f l = f (a) O
x→a

y f (a) l a lim f (x) = l = f (a) x O
x→a

y • f l a lim f (x) = l = f (a) x O
x→a

f

a

x

lim f (x) = l y no existe f (a)

Definici´nformal: Se dice que f tiene l´ o ımite l en el punto a si para cualquier ε > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < |x − a| < δ entonces |f (x) − l| < ε. Es decir:
x→a

lim f (x) = l ⇐⇒ (∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ |f (x) − l| < ε) y f l+ε l l−ε • Si x dista de a menos que δ, f (x) dista de l menos que ε. • δ depende de ε: mientras m´s peque˜o a n sea ε, m´s peque˜o ser´ δ. a n a

Oa−δ

   s   a d d

a+δ

x

2.2.2. Ejemplos
1. Demuestra, intuitivamente y formalmente, los siguientes l´ ımites: √ (a) lim (2x − 1) = 3 (b) lim x = 2 (c) lim x3 = 27
x→2 x→4 x→3

2. Demuestra que la funci´n f (x) = o

0 , si x ∈ Q 1 , si x ∈ Q /

no tiene l´ ımite en ning´n punto. u

2.2.3. L´ ımites laterales
Sea y = f (x) una funci´n definida en un entorno del punto a ∈ R, aunqueno necesariamente en el punto. o Al hallar el l´ ımite de f en a hay que considerar, si es posible, valores de x que tienden al punto a tanto por su derecha como por su izquierda. Existen muchas funciones, como las definidas a trozos, en que estos valores (por la derecha y por la izquierda) hay que considerarlos por separado, obteniendo lo que se conoce como l´ ımites laterales:

´ Agueda Mata yMiguel Reyes, Dpto. de Matem´tica Aplicada, FI-UPM. a

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• Se dice que l− es el l´ ımite por la izquierda de f en el punto a si f (x) tiende a l− cuando x tiende a a por su izquierda (con valores menores que a). Formalmente:
x→a−

lim f (x) = l− ⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: a − δ < x < a =⇒ f (x) − l− < ε

• Se dice que l+ es el l´ ımite por la derecha de f en el punto a si f (x) tiendea l+ cuando x tiende a a por su derecha (con valores mayores que a). Formalmente:
x→a+

lim f (x) = l+ ⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que: a < x < a + δ =⇒ f (x) − l+ < ε

Obviamente, existe el l´ ımite de una funci´n en un punto si y s´lo si existen los l´ o o ımites laterales y coinciden. Cuando la funci´n s´lo est´ definida a uno de los lados del punto, se define el l´ o o a ımite como el l´ ımitelateral correspondiente. y f l− = l+ O a
x→a

y l+ l− O a f lim f (x) = l−

lim f (x) = l− = l+ x

x→a− x→a+

lim f (x) = l+

x

Los l´ ımites laterales coinciden y, por tanto, existe el l´ ımite de la funci´n en el punto. o

Los l´ ımites laterales son distintos y, por tanto, no existe el l´ ımite de la funci´n en el punto. o

2.2.4. L´ ımites infinitos
Sea y = f (x) una funci´ndefinida en un entorno del punto a ∈ R, aunque no necesariamente en el punto. o • Se dice que f tiene l´ ımite +∞ en el punto a si f (x) se hace mayor que cualquier n´mero positivo u cuando x tiende a a. Formalmente:
x→a

lim f (x) = +∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) > M )

• Se dice que f tiene l´ ımite −∞ en el punto a si f (x) se hace menor que cualquier n´mero negativou cuando x tiende a a. Formalmente:
x→a

lim f (x) = −∞ ⇐⇒ (∀M > 0 ∃δ > 0 tal que: 0 < |x − a| < δ =⇒ f (x) < −M )

An´logamente, se definen los l´ a ımites laterales infinitos. Estos l´ ımites infinitos se presentan con frecuencia en puntos donde la funci´n no est´ definida. o a y M f y a O f x O −M lim f (x) = −∞ lim f (x) a y f
x→a−

x

lim f (x) = +∞

O
x→a

a lim f (x) = +∞...