Matematicas

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Cálculo de derivadas

1. La derivada
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente sobre la primera gráfica del margen: a) la pendiente de la recta secante, r, que pasa por A y B b) la pendiente de la recta tangente, t, en el punto A Solución: a) 1
Y 2x – 15 y=— x–6 B A X r

t

b) 1/3

● Aplica la teoría
1. Calcula la tasa de variación media de las siguientes funciones en el intervaloque se indica: a) f(x) = 2 – 3x en [1, 2] b) f(x) = x2 – 4 en [2, 3] 1 c) f(x) = en [2, 4] x+1 d) f(x) = √ x + 2 en [–1, 2] Solución: a) –3 c)
Y

X

b) 5

c) –1/15

d) 1/3

4. Aplica la definición de derivada y calcula: a) la derivada de f(x) = √ x en x = 4
b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 4 Representa la gráfica de f(x) y la recta tangente para x = 4Solución: a) 1/4 b) y – 2 = c) 1 1 (x – 4) ò y = x + 1 4 4
Y

2. Aplica la definición de derivada y calcula la derivada de
las siguientes funciones en los valores que se indican: a) f(x) = 5 en x = 2 b) f(x) = x en x = 5 c) f(x) = 3x + 2 en x = 4 d) f(x) = 2x2 en x = – 1 Solución: a) 0

b) 1

c) 3

d) –4
X

3. Aplica la definición de derivada y calcula:
a) la derivada de f(x) = x2 – 4xen x = 1 b) la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x = 1 Representa la gráfica de f(x) y la recta tangente para x = 1 Solución: a) – 2 b) y + 3 = – 2(x – 1) ò y = – 2x – 1

punto A(2, 1) pasa por el punto B(6, –1). Calcula el valor de f(2) y f'(2) Solución: f(2) = 1 –1 – 1 –2 1 f '(2) = = =– 6–2 4 2

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SOLUCIONARIO

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5. La recta tangente ala gráfica de la función f(x) en el

2. Continuidad y derivabilidad
■ Piensa y calcula
a) Observando la función del margen, f(x) = |x2/2 – 2|, calcula las pendientes de las rectas tangentes r y s b) ¿Se puede dibujar una única recta tangente a la gráfica de la función f(x) en x = 2?
Y s r

X x2 f(x) = — – 2 2

Solución: a) La pendiente de r es 2 La pendiente de s es –2 b) No, hay dos.● Aplica la teoría
6. Aplica la definición de derivada y calcula la función derivada de las siguientes funciones: a) f(x) = 7 b) f(x) = x – 2 c) f(x) = x2 – x Solución: a) f '(x) = 0 b) f '(x) = 1 c) f '(x) = 2x – 1 d) f '(x) = – 1 x2
f(x) = |x + 2|

8. Dadas las gráficas de las funciones siguientes, analiza si
dichas funciones son derivables en los puntos que se indican: a) f(x) = |x + 2|en x = – 2 b) g(x) = 1 en x = 1 x–1
Y Y

d) f(x) =

1 x

X 1 g(x) = — x–1

X

7. Dada la gráfica de la función f(x) = √ x – 1 , analiza si la
función es derivable en x = 1
Y

X

Solución: a) La función f(x) no es derivable en x = – 2, ya que tiene un pico en ese valor. Las derivadas laterales son distintas. f'(–2–) = – 1 y f'(–2+) = 1 Por lo tanto, no es derivable. b) La funcióng(x) no es derivable en x = 1, ya que es discontinua en ese valor.

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Solución: La función solo admitiría derivada por la derecha, puesto que la función no está definida para x < 1. La derivada por la derecha no existe porque, como se ve gráficamente, la tangente sería una recta vertical de ecuación x = 1. La pendiente de la recta sería + @. Luego no existe laderivada en x = 1

TEMA 10. CÁLCULO DE DERIVADAS

291

3. Reglas de derivación. Tablas de derivadas
● Aplica la teoría
Deriva en función de x:

18. y = sen x3
Solución: y' = 3x2 cos x3

28. y = 8 sen 5x
Solución: y' = 40 cos 5x

9. y =

x3

– 2x + 1

Solución: y ' = 3x2 – 2

19. y = 35x
Solución: y ' = 5 · 35x L 3

29. y = x2 – cos x
Solución: y' = 2x + sen x

10. y = (2x– 1)5
Solución: y ' = 10(2x – 1)4

20. y = arc tg x2
Solución: y' = 2x 1 + x4
4

30. y = L (x2 – 4)3
Solución: 6x y' = 2 x –4

11. y = cotg 3x
Solución: y' = –3 cosec2 3x

31. y = log (5x + 2)
Solución: 5 y' = log e 5x + 2

21. y = √ 5x 12. y = √ 7x + 3
Solución: 7 y' = 2 √ 7x + 3 Solución: 5 y' = 4 4 √ (5x)3

32. y = cosec x2
Solución: y' = – 2x cosec x2 cotg x2

22. y =...