Matematicas

Guía de
Matemáticas Básicas

UNIDAD I

ALGEBRA ELEMENTAL

I. Repaso del algebra.

Propiedades de los números reales.

Propiedades conmutativas: si a y b son dos números reales cuales quiera, entonces:
a + b = b + a y ab = ba |

Ejemplo:
3 + 7 = 7 +3 3 + (-7) = (-7) + 3 3 x 7 = 7 x 3 (3) (-7) = (-7) (3)
Estas propiedades establecen que no importa el orden enel cual dos números son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier orden que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adicción y de multiplicación, respectivamente.

Propiedades asociativas: si a, b y c son tres números reales cualesquiera, entonces:
(a + b) + c = a + (b +c) y (ab)c = a(bc). |

Ejemplo:
(2 + 3) + 7 = 2 + (3 + 7) = 12 (2 x3) x 7 = 2 x (3 x 7) = 42
Estas propiedades se conocen como propiedades asociativas de la adición y de la multiplicación, respectivamente. Establecen que, si tres números se suman (o se multiplican) a la vez, no importa cuáles dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en primer término. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

Propiedades distributivas: si a, b y c son números realescualesquiera, entonces:
a(b + c) = ab + ac y (b + c)a = ba + ca |

Ejemplo:
2(3 + 7) = 2(3) + 2(7) = 6 + 14 = 20. Esto es sin duda cierto porque 2(3 + 7) = 2 x 10 = 20. Por otra parte, (-2) [3 + (-7)] = (-2)(3) + (-2) (-7) = -6 + 14 = 8

Ejemplos:
1) x(y + 2) = xy + x(2) = xy + 2x (propiedad distributiva y conmutativa)
2) 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x (propiedaddistributiva)
3) 2(3x) = (2 • 3)x = 6x (propiedad asociativa)
4) (2x)(3x) = [(2x) • 3]x = [3 • (2x)]x = (6x)x = 6(x • x) = 6x2 (se utilizan todas las propiedades)
5) [5(3ab)] (2a) = (5 • 3 • 2) (a • a)b = (5a2b ) (3a2b) (2a2b) = 30a2b

Multiplicación de fracciones.
El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer término los dos numeradores y luego los dosdenominadores:
(ab) (cd) = acbd |

Ejemplo:
1) (23) (59) = 2 • 53 • 9 = 1027
2) (2x3) (4y) = (2x)43 • y = 8x3y
3) 3x(45y) = 3x1(45y) = (3x • 4)1 • (5y) = 12x5y

División de fracciones.
(ab) ÷(cd) = (ab) (dc) = (adbc) |

En la división de fracciones, el resultado se obtiene multiplicando de manera cruzada el numerador y denominador de ambos elementos.
Ejemplo:
1) (35)÷(79) = (35) (97) = 2735
2) (3x2) ÷(4y) = (3x2) (y4) = 3xy8
3) 5y ÷(65x) = (5y1) (5x6) = 25xy6

Simplificación de fracciones.
1. 7084 = 2 •5 •72 •2 •3 •7 = 2 •5 •72 •2 •3 •7 = 5 2 • 3 = 56
2. 6x2y8xy2 = 2 •3 •x •x •y2 •2 •2 •x •y •y = 2 •3 •x •x •y2 •2 •2 •x •y •y = 3X4y

Adicción y sustracción de fracciones.
Cuando dos fracciones tienen un común denominador, pueden sumarsesimplemente sumando sus numeradores.
(ac) + (bc) = (a + bc) |

Una regla similar se aplica a la sustracción:
(ac) - (bc) = (a-bc) |

Ejemplo:
a) (512) + (1112) = 5+1112 = 1612 = 34
b) 32x - 52x = 3- 52x = -22x = - 1x
c) 56 - 34 = 2024 - 1824 = 20-1824 = 224 = 112
d) x6 + 3y4 = 2x12 + 9y12 = 2x +9y12
e) 19x - 16 = 218x - 3x18x = 2-3x18x
f)4a5b- b3 = primero simplificamos el denominador: 5b- b3 = 15b-b3 = 14b3
Entonces la expresión dada es: 4a 14b3 = 4a( 14b3)-1 = 4a( 314b) = 12a14b = 6a7b

Exponentes.
Si m es un entero positivo, entonces am (léase a a la potencia m o la m-ésima potencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Por lo que:
am = a • a • a….a. |

Propiedad 1am •an = am + n|

Ejemplo:
1) am = a • a • a….a.
2) a-m = 1am
3) 24 = 2 • 2 • 2 • 2 = 16
4) 3-4 = 134 = 181
5) 52 • 53 = 52+3 = 55 = 5 • 5• 5• 5 • 5 = ……
6) 40 = 1
7) 51 = 5
8) 5-2 = 125= 152
9) x5 • x-3 = x5 +(-3)= x2
10) 57 53 = 57-3= 54
Propiedad 2 aman =am-n (a≠0) |

Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el...