MatEMATICAS

UNIVERSIDAD DE LA SERENA
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO MATEMÁTICA

GUIA DE ÁLGEBRA LINEAL
2do SEMESTRE 2011

MATRICES

Definición 1:
Una matriz sobre un cuerpo IK, es una ordenación rectangular de la forma:
= A, donde Aij son escalares de IK.

Notación 2: A= ( Aij) 1  i  m, 1  j  n

Observaciones 3:
Los elementos Ai1, Ai2, ..., Ainson los elementos de la i-ésima fila de A.
Los elementos A1j, A2j, ..., Amj son los elementos de la j-ésima columna de A.
El conjunto al cual pertenecen las matrices se denota por Mm,n ( IK), en particular
si IK= IR anotamos Mm,n. ( IR )

Definición 4:
Sea A  Mm,n (IK) se dice que A es una matríz cuadrada si m= n.
Ej.: A= entonces A  M2,2 ( IR )

Definición 5:
Sean A = ( Aij), B= (Bij)en Mm,n ( IK) se dice que A = B, si y sólo si Aij= Bij  i, j.

Definición 6:
Sea A = ( Aij)  Mm,n ( IK ), A se llama matriz nula o matriz cero, si y sólo si Aij= 0IK,
 i, j.

Operatoria de matrices:
Definición 7:
Sean A, B Mm,n ( IK), C  Mn,p(IK) se define:
i) Suma de A con B como:
A + B = ( Aij) + ( Bij) = (Aij + Bij) Mm,n( IK).

ii) Producto de un escalar  por A (ponderación)
A=  ( Aij) = ( Aij )  Mm,n ( IK)

iii) Producto de A con C como:
A · C= ( Aij) · ( Cij) = ( Dij)  Mm,p ( IK ), donde Dij= Aik Ckj.
Propiedades 8 :

Sean A, B, C Mm,n (IK) y ,   IK.

En la suma, se cumple: En el producto se cumple:
i) (A + B)+C= A+(B+C) i) (A · B) · C=A· (B · C), A  Mm,n(IK)
ii) A + 0m = AB Mn,p(IK) y C  Mp,q (IK)
iii) A +-A= 0M ii) A ·( B+C) = A · B + A · C, A Mm,n(IK),
iv) A + B= B+ A  B, C  M n, p(IK)
v)  ( A + B) = A + B iii) (A)B= A (B) =  (A · B), A Mm,n y
vi) ( +  )A= A + AB  Mn,p con   IK.
vii) 1k · A = A ; 0k · A = 0M




Definición 8:
Sea A Mn ( IK ) se define A1 = A y Am+1 = Am · A , m  IN

Proposición 10: Sea A Mn( IK), entonces Am+ r = Am · Ar ,  m, r IN.

Definición 11:
Sea A Mn(IK) , A es la matriz identidad de Mn( IK ) si :
A= ( Aij) donde Aij = ij=, a ij se le llama deltade Krönecker.
Propiedad 12: A· In = In ·A = A con A Mn( K) e In identidad de Mn( IK)

Definición 13:
Se dice que una matriz A Mn( IK) es invertible si existe una matriz denotada por
A-1  Mn(IK) tal que A · A-1 = A-1 · A = In

Observación 14: existen matrices cuadradas no invertibles.

Definición 15: ( algunas matrices especiales)

i)Traspuesta: Sea A = (Aij)  Mm,n(IK), se llamamatriz traspuesta de A a la matriz denotada por At, donde At= (Aji)  Mn,m(IK)

ii)Simétrica: Sea A Mn(IK), A se llama simétrica si A = At

iii)Antisimétrica: sea A = ( Aij)  Mn( IK), se llama antisimétrica si A = -At.

iv)Sea A = ( Aij) Mn( IK ), se llama

a) Triangular superior ssi Aij = 0, i > j
b) Estrictamente triangular superior si y solo si Aij = 0,  i  j
c) Triangular inferiorsi y solo si Aij= 0,  i d) Estrictamente triangular inferior si y solo si Aij= 0, i  j

v) Diagonal: Sea D = ( Dij)  Mn(IK) se llama diagonal si Dij= 0, i j.

Propiedades 16:
i) Si A Mn( IK ) es invertible entonces ( A-1)-1=A
ii) La inversa de A es única.
iii) Sean A, B, C Mn ( IK), si AB= I y CA = I entonces B= C = A-1.
iv) Si A, B Mn(IK) invertibles entoncesAB es invertible y ( A·B)-1= B-1· A-1
v) Sean A, B, C Mn( IK ) si AB=C con A invertible entonces B es invertible,
si y sólo si C es invertible.
vi) Si A, B Mm,n ( IK) entonces ( A+B)t = At + Bt
vii) Si A Mm,n ( IK) entonces ( At) t = A
viii) Si A Mm,n(IK) y  IK entonces (A)t= At
ix) Si A Mm,n (IK) y BMn,p(IK) entonces ( AB)t = BtAt

Operaciones...

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