Matematicas

Matemáticas IV

UNIDAD I NUMEROS COMPLEJOS

1.1 DEFINICION Y ORIGEN DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Los números complejos surgen por el interés y la necesidad de dar solución a un problema existente: No toda función polinómica tiene una raíz. El ejemplo más notable es el que no existe ningún número real x tal que

x 2 + 1 = 0 . Se llama unidad imaginaria i a la raíz de -1. i = −1
Dado el númerocomplejo a + bi se llama parte real al número real a y parte imaginaria al número real b. Se escribe:

Re (a + bi ) = a

Im (a + bi ) = b

Si a = 0 se dice que es un número imaginario puro; y si b = 0 se dice que es un número real. Se puede escribir el número complejo a + bi como el par (a,b) que se llama representación binómica de dicho número, o afijo del número complejo.

Ejemplos z 7+5i-4 –3 i = -4 + (-3) i -9 i = 0 + (-9) i 4=4+0i Re(z) 7 -4 0 4 Im(z) 5 -3 -9 0

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Dos números complejos son iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias. Dado el número complejo z = a + bi , se definen: • • Su opuesto como

( −z ) = −a − bi Su conjugado como z = a − bi

Representación gráfica de números complejos Los númeroscomplejos se representan en unos ejes cartesianos. El eje X se llama eje real y el Y, eje imaginario. El número complejo a + bi se representa: Por el punto (a,b), que se llama su afijo,

z Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X. Y los imaginarios sobre el eje imaginario, Y.

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1.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NUMEROS COMPLEJOS

Suma y diferenciade números complejos La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando partes reales entre sí y partes imaginarias entre sí. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

(5 + 2i) + ( − 8 + 3i) − (4 − 2i) = (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2)i = −7 + 7i Multiplicación de números complejos El producto de los números complejos se realiza aplicando lapropiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1. (a + bi) — (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i (5 + 2i) — (2 − 3i) =10 − 15i + 4i − 6 i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i División de números complejos El cociente de números complejos se hace racionalizando el denominador; esto es, multiplicando numerador y denominador por el conjugado de éste.

1.3 POTENCIAS DE i, MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO COMPLEJO Potencias de la unidad imaginaria i0 = 1 i1 = i i2 = −1 i3 = −i i4 = 1

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada.

i 22 ⇒

22 = 5.5... 4
5

i 22 = i 4 ⋅ i 2 = −1

( ) ( )Inverso

1 x − yi = 2 z x + y2 Dado el número complejo z = a + bi , se llama inverso de z al número complejo

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1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

r = z = Re( z ) 2 + Im( z ) 2
Si pensamos en z como un punto en el plano; podemos ver, por el teorema dePitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Argumento de un número complejo

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z). Dado el número complejo z de módulo r y argumento θ, se llama forma polar o módulo-argumento de z a la expresión z = rθ La representaciónpolar nos permite expresar este número complejo en función de r y del ángulo

θ:

Z = re iθ
a la cual se le conoce como forma exponencial de un número complejo y por la relación de Euler se puede expresar como z = r (cos θ + isenθ ) a lo que se le conoce como forma trigonométrica • Paso de forma binómica a forma polar Dado el número complejo z = a + bi binómica, expresémoslo en forma polar....