Matematicas7

1.1Definiciones y terminologa Clasificacin Tipo Ordinarias. Una sola variable independiente EQ F(dy, dx) EQ F(d2y, dx2) - 2 EQ F(dy, dx) 6y 0 (x y) dx -4y2 dy 0 a2(x) EQ F(d2y, dx2) a1(x) EQ F(dy, dx) a0(x)y g(x) Notar que i) Tanto y como sus derivadas son de primer grado (potencia 1) ii) Los coeficientes ai(x) slo dependen de x. De una ecuacin que no es de esta formase dice que es no lineal Ejercicio. Clasificar las ecuaciones xdy ydx 0 y - 2y y 0 x3 EQ F(d3y, dx3) - x2 EQ F(d2y, dx2) 3x EQ F(dy, dx) 5y ex y y - 2 y x EQ F(d3y, dx3) y2 0 (sen x)y - (cos x) y 2 EQ F(d2y, dx2) 9y sen y Solucin. Una funcin y f(x) cualquiera es solucin de la ec. diferencial si al ser sustituda en dicha ecuacin conduce a una identidad. Ejemplos 1) yx4/16 es solucin de EQ F(dy, dx) - xy1/2 0 puesto que y x3/4 y sustituyendo en la ec. dif. x3/4 - x(x4/16)1/2 0 2) y xex es una solucin de y - 2y y 0 ya que y xex ex y xex 2ex Obsrvese que y - 2y y xex 2ex - 2(xex ex) xex 2xex - 2xex 2ex - 2ex 0 c) y c/x 1 es solucin de x EQ F(dy, dx) y 1 d) Las funciones y1 c1cos 4x ey2 c2 sen 4x son soluciones de y 16 y 0 e) La funcin y y1 y2 del ejemplo anterior tambin es solucin. 1.2 Interpretacin fsica de las ecuaciones diferenciales Objetos en cada libre. Los objetos cercanos a la superficie de la tierra tienen una aceleracin constante. EQ F(d2y, dt2) -g y distancia recorrida a un tiempo t Masa suspendida por un resorte Circuito RLC 2a. Ley de Kirchoff. Sumade las cadas de voltaje es igual a la tensin aplicada. Cadas de voltaje. En un inductor L EQ F(di, dt) EQ F(d2q, dt2) En un capacitor EQ F( 1 , C) q En un resistor Ri R EQ F(dq, dt) L EQ F(d2q, dt2) R EQ F( dq , dt ) EQ F( 1 , C) q E(t) Ecuacin de la catenaria 2a. Ley de Newton c) La solucin de x e-y sen x dx - y dy 0 es - x cos x sen x yey - ey c (solucin implcita)d) La solucin de xy4 dx - (y2 2)e-3x dy 0 es e3x (3x - 1) EQ F( 9 , y ) EQ F( 6 , y3 ) c (solucin implcita) e) Transforme la ecuacin a la forma de variables separables y demuestre que la solucin en forma impcita es x y 2 cey. EQ F(dy, dx) EQ F( 1 , x y 1) , Sugerencia use la sustitucin u x y 1 f) La solucin de EQ F(dy, dx) 2 EQ r(y - 2x 3) es 4(y - 2x 3) (xc)2 2.2 Ecuaciones homogneas La ecuacin diferencial M(x, y) dx N(x,y) dy 0 es homognea si M y N son homogneas del mismo grado, esto es, M(tx, ty) tn M(x, y) y N(tx, ty) tn N(x, y) Funciones homogneas de grado n Importancia Una ec. diferencial homognea siempre se puede reducir a una ec. diferencial de variables separables por medio de una sustitucin algebraica. Determine si lasfunciones siguientes son homogneas y el grado. a) f(x, y) x - 3 EQ r(xy) 5y f(tx, ty) tx - 3 EQ r(t2xy) 5ty t( x - 3 EQ r(xy) 5y) t f(x,y) . La funcin es homognea de grado 1 b) f(x, y) EQ r(x3 y3) c) f(x, y) x2 y2 1 d) f(x, y) EQ F( x , 2y ) 4 Se puede determinar la homogeneidad examinando el grado de cada trmino grado 4 ( 2 2) e) f(x, y) 6xy3 - x2y2 grado 4( 1 3) funcin homognea de grado 4 f) f(x, y) x2 - y grado 2 grado 1 La funcin no es homognea g) f(x, y) x2 3xy y2 Solucin de las ec. diferenciales de coeficientes homogneos Cualquiera de las sustituciones y ux x vy reduce la ecuacin homognea a una ec. de variables separables. En particular haciendo y ux dy u dx x du Sustituyendo en la ec. M(x, ux) dx N(x, ux) u dx xdu 0 ya que M y N son homogneas de grado n xnM(1, u) dx xnN(1, u) u dx x du 0 Eliminando xn y reagrupando, M(1,u) uN(1,u)dx xN(1,u)du 0 de lo cual resulta EQ F( dx , x ) EQ F( N(1, u) du , M(1, u) uN(1, u) ) 0 Este procedimiento debe desarrollarse por completo cada vez. (No memorizar) Ejemplo a) Resolver (x2 y2)dx (x2 - xy)dy 0 (1) haciendo y ux, dy udx xdu sustituyendo en...