matematico

Introducci´n a la teor´ de n´ meros
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Carmela Acevedo y Laura Vielma
La teor´ de n´meros tiene que ver con las propiedades de los n´meros naturales 1,2,3,4..., tambi´n llamados enteros
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positivos. Estos n´meros, unidos con los enteros negativos y el cero componen el conjunto de los n´meros enteros. Las
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propiedades de estos n´meros han sido estudiadas desde hace muchotiempo. Por ejemplo, un entero es divisible por
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3 s´ y s´lo s´ la suma de sus d´
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ıgitos es divisible entre 3.

1.

Divisibilidad

Divisores, m´ltiplos, n´meros primos y compuestos son conceptos que se han conocido al menos desde los tiempos
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de Euclides, alrededor de 350 A.C. Las ideas fundamentales son usadas en la pr´xima secci´n.
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Definicion 1.1 Un entero b esdivisible por un entero a, diferente a cero, si hay un entero x tal que b = ax y
escribimos a | b. En caso de que b no sea divisible por a, escribimos a b.

Teorema 1.1
1. a | b implica a | bc para todo entero c;
2. a | b y b | c implica que a | c;
3. a | b y a | c implica que a | bx + cy para todo par de enteros x, y;
4. a | b y b | a implica que a = ±b;
5. a | b, a > 0, b > 0, implicaque a ≤ b;
6. si m = 0, a | b implica y es implicado por ma | mb;
Pruebas
1. Si a | b entonces existe un entero x tal que b = ax y multiplicando ambos lados por c: bc = (ax)c = a(xc) de
donde a | bc;
2. Si a | b y b | c entonces existen x, y tales que b = ax, c = by de donde c = (ax)y = a(xy) luego a | c;
3. Si a | b y a | c de acuerdo con la primera propiedad, a | bx y a | cy, luego existenenteros m, n tales que
bx = am, cy = an. Sumando miembro a miembro ambas desigualdades se tiene bx + cy = am + an = a(m + n)
luego a | (bx + cy)
4. Si a | b y b | a, entonces existen enteros x, y tales que b = ax, a = by de donde b = (by)z = b(yx) y por
consiguiente yx = 1. Ahora bien, como x, y son enteros, se tiene necesariamente que x = y = 1 ´ x = y = −1, de
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manera que a = ±b;
5. Si a| b, entonces b = ax para alg´n entero x. Como a > 0 y b > 0, x necesariamente debe ser positivo, es decir,
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x ≥ 1 y, en consecuencia a ≤ b.
Teorema 1.2 El algoritmo de la divisi´n. Dado enteros cualesquiera a y b, con a > 0, existen enteros unicos q y r
o
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tales que b = qa + r, a > r ≥ 0. si a b, entonces r satisface la desigualdad m´s fuerte a > r > 0
a
Prueba Considere la progresi´naritm´tica
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..., b − 3a, b − 2a, b − a, b, b + a, b + 2a, b + 3a, ...
En esta secuencia, seleccione el menor elemento, no negativo y se le denota r. Entonces, por definici´n r satisface
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las desigualdades del teorema. Pero, al mismo tiempo r siendo parte de la secuencia, es de la forma b − qa, y entonces
q est´ definida en funci´n de r. Para probar la unicidad de q y r supongamos que hayotro par q1 y r1 satisfaciendo las
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mismas condiciones. Primero, probamos que r1 = r. Si no es as´ podemos presumir que r1 > r tal que a > r1 − r > 0,
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y luego vemos que r1 − r = a(q − q1 ) y entonces a | (r1 − r) lo cual es una contradicci´n con el teorema 1.1 parte 5
o
entonces r = r1 y tambi´n q = q1 .
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2.

Maximo Comun Divisor

Definicion 2.1 El entero a es un divisor com´nde b y c en caso de que a | b y a | c. Como hay una cantidad finita
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de divisores de un n´mero distinto de cero entonces s´lo hay una cantidad finita de divisores comunes de b y c, excepto
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en el caso en el que b = c = 0. Si al menos uno de b y c es distinto de 0, el mayor de los divisores en com´n se denota
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como (b, c).

Teorema 2.1 Si d=(a,b), entonces existen enteros x0 , y0 ,tales que d = ax0 + by0 .
Para demostrarla, consideremos el conjunto de todos los n´meros de la forma ax+by donde x, y recorren los enteros.
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Naturalmente, de acuerdo con los valores que se asignen a x, y el conjunto contiene n´meros positivos y negativos (y
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tambi´n al 0, tomando x = y = 0). El principio de buena ordenaci´n garantiza que existe un elemento d que es el
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o
menor entero...