matematico

EJERCICIOS DE ANALISIS FUNCIONAL
DEIVINSO VILLA MONCARIS
September 8, 2009

1.pruebe que la clausura Y de un subespacio Y de un espacio normado X
es un subespacio de X.

SOLUCION

Sean x, yen S y α, β en K. Entonces existen (xn )n∈N , (yn )n∈N en S tales
que xn −→ x y yn −→ y, como (xn )n∈N , (yn )n∈N en S, entonces (αxn + βyn )
est´n en S y ademas αxn +βyn −→ αx+βy, por tanto tenemosque αx+βy ∈ S,
a
en consecuencia S es un subespacio de X.

2. Pruebe que si xn −→ x y yn −→ y implica que xn + yn −→ x + y. Pruebe
que αn −→ α y xn −→ x, entonces αn xn −→ αx.

SOLUCIONcomo xn −→ x y yn −→ y entonces existe
d(xn , x) < 1 y d(yn , y) < 2 . por otro lado
d(xn + yn , x + y)

1, 2

> 0, talque para n > N ,

= |(xn + yn ) − (x + y)|
= |(xn − x) + (yn − y)|
≤|xn − x| + |yn − y|

= d(xn , x) + d(yn , y) <
tomando = 1 + 2 , tenemos que d(xn , x) + d(yn , y) < .
Por tanto xn + yn −→ x + y.

1

1

+

2

luego si αn −→ α y xn −→ x, entonces limn→∞xn = x y limn→∞ αn = α
respectivamente, por tanto
(limn→∞ xn )(limn→∞ αn ) = limn→∞ xn αn = αx
esto implica que limn→∞ d(xn αn , αx) = 0, es decir dado ε > 0 existe N , talque
para n > N , d(xnαn , αx) < ε, por tanto αn xn −→ αx.

3. Seminorma Una Seminorma en un espacio vectorial X es un mapeo
p : X −→ R que satisface N 1, N 3, N 4 en sec 2.2. Muestre que
p(0)

=

0,

|p(y) − p(x)|≤

p(x − y)

(Por tanto, si p(x) = 0 implica que x = 0, entonces p es una norma).
SOLUCION
Como p satisface N 3, entonces p(αx) = |α|p(x), si hacemos α = 0, entonces
tenemos que p(0x) =p(0) = 0p(x) = 0, por tanto p(0) = 0.
por otro lado.
Como x = x + y − y, entonces p(x) = P (x − y + y) ≤ p(x) + p(x − y) esto implica
que p(x) − p(y) ≤ p(x − y).
Ademas y = y − x + x, entonces p(y) =p(y − x + x) ≤ p(y) + p(y − x) esto
implica que p(y) − p(x) ≤ p(y − x), pero

p(y − x)

=

p(−(x − y)

=

| − 1|p(x − y)

=

p(x − y)

(2)
por tanto
−p(x − y) ≤ p(x) − p(y) ≤...