matemticas

FPROP
Century Preceptores, A.C.
Century

[1.0.1 PROGRESIONES]
1.0.1 Progresiones geométricas

Progresiones Geom´ tricas
e

1

Progresiones Geom´ tricas
e
Una sucesi´ n a1 , a2 , a3 , ..., an , ... es una progresi´ n geom´ trica si y s´ lo si si existe un n´ mero real r = 0
o
o
e
o
u
tal que
an+1
=r
an
para todo entero positivo n.
Nota 1

Al n´ mero r se le llama raz´ ncom´ n, raz´ n de la progresi´ n o simplemente raz´ n.
u
o
u
o
o
o

Con la anterior f´ rmula podemos obtener en foma recursiva los t´ rminos de la progresi´ n. As´,
o
e
o
ı
an+1 = an · r
Haciendo algunas transformaciones algebraicas, obtenemos
a1 , a1 r, a1 r2 , a1 r3 , a1 r4 , ...
De donde, el en´ simo t´ rmino de la progresi´ n esta dada por la f´ rmula:
e
e
o
o
an = a1 ·rn−1
Esta f´ rmula nos dice que un t´ rmino cualquiera es igual al primer t´ rmino multiplicado por la raz´ n eleo
e
e
o
vada a un potencia igual al n´ mero de t´ rminos que lo preceden.
u
e
§

¤

Ejemplo 1 ¥
Hallar los cinco primeros t´ rminos y el d´ cimo t´ rmino de la progresi´ n cuyo primer t´ rmino
e
e
e
o
e
¦
1
es 3 y en que la raz´ n es − 2 .
o
Soluci´ n:
o
Si a1 =3 y r = − 1 , entonces los cinco primeros t´ rminos son
e
2
a2 = a1 · r = 3 · (− 1 ) = − 3 ,
2
2
a3 = a1 · r2 = 3 · (− 1 )2 = 3 ,
2
4
a4 = a1 · r3 = 3 · (− 1 )3 = − 3 y
2
8
a5 = a1 · r4 = 3 · (− 1 )4 =
2

3
.
16

La progresi´ n buscada es:
o
3 3 3 3
3, − , , − ,
2 4 8 16
Para hallar el t´ rmino a10 usamos la f´ rmula an = a1 · rn−1 , obtenemos
e
o
a10 = 3(− 1 )9 =
2−3
.
512

Finalmente,

Progresiones Geom´ tricas
e

2

a10 = −
§

¤

3
512

Ejemplo 2 ¥
Encuentre el s´ ptimo t´ rmino de la progresi´ n geom´ trica: 2, 6, 18, ...
e
e
o
e
¦
Soluci´ n:
o
Encontraremos a7 , con r =

6
2

=3

a7 = a1 · r6 = 2 · 36 = 1458.
Nota 2

Cuando los t´ rminos de la progresi´ n son alternativamente positivo y negativo, la raz´ n sera un
eo
o
n´ mero negativo.
u
§

¤

Ejemplo 3 ¥ el tercer t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es 5 y el sexto t´ rmino es -40, hallar el octavo
Si
e
o
e
e
¦
t´ rmino.
e
Soluci´ n:
o
Tenemos a3 = 5 y a6 = −40. Si sustituimos por n=3 y n=6 en la f´ rmula an = a1 · rn−1 obtendremos el
o
sistema:
5 = a1 r 2
−40 = a1 r5
Como r = 0, despejamos en la primera ecuaci´ n y: a1 =
o5
.
r2

Susitituimos en la segunda ecuaci´ n a a1 ,
o
−40 =

5
r2

· r5 = 5r3 .

Por tanto, r3 = −8 y r = −2. con este valor encontramos a1 , sustituyendo adecuadamente.
a1 = 5 .
4
De aqui el trabajo de encontrar a8 es meramente mec´ nico.
a
a8 = a1 · r7 = 5 (−2)7 = −160
4
§

¤

Ejemplo 4 ¥ sexto t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es
El
e
o
e
¦
Soluci´ n:
oAqui, a6 =

1
16

y r = 1.
2

Despejando en la f´ rmula a6 = a1 · r5
o
a1 =

a6
,
r5

1
16

y la raz´ n 1 . Hallar el primer t´ rmino.
o 2
e

Progresiones Geom´ tricas
e

a1 =
§

1
16
1 5
(2)

3

= 2. As´ a1 = 2.
ı
¤

Ejemplo 5 ¥ 1er t´ rmino de una progresi´ n geom´ trica es 3 y el 6to t´ rmino -729. Hallar la raz´ n.
El
e
o
e
e
o
¦
Soluci´ n:
oAqu´, a1 = 3 y a6 = −729, encontraremos r despejando simplemente de la f´ rmula,
ı
o
a6 = a1 · r 5 .
r5 =

a6
a1

=

−729
3

= −243. Asi r5 = −243, o equivalentemente r =

√
5
−243 y finalmente r = −3.

Ejercicios No 1
Escribir los primeros tres t´ rminos de la P.G. para lo cual:
e
1. a1 = 11 y r = 3.

R/11, 33, 99.

2. a1 = −5 y r = 2.
3. a1 =

3
2

y r = 2.
34. a1 = 3 y r = − 3 .
2
5. a1 = −5 y r = − 2 .
5
6. a1 = b y r = c.
Hallar:
1. 7mo t´ rmino de la P. G.: 3, 6, 12,...
e

R/a7 = 192.

2. 8vo t´ rmino de la P. G.: 1 , 1, 3...
e
3
3. 9no t´ rmino de la P. G.: 8, 4, 2, ...
e
4
4. 6to t´ rmino de la P. G.: 1, 2 , 25 , ...
e
5

5. 8vo t´ rmino de la P. G.: 2 1 , 3, ...
e
4
6. 6to t´ rmino de la P. G.: -3, 6, -12, ....
e
7....