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MATEMÁTICAS II Soluciones del EXAMEN FINAL, 26 de mayo de 2010
Resuelve CINCO de las cuestiones siguientes:
⎛ 5 2⎞
⎛3 0⎞
⎟, B = ⎜
⎟
⎝ −2 1 ⎠
⎝1 3⎠

⎛x
y T =⎜
⎝y

1.- Dadas las matrices:A = ⎜

y⎞
⎟ , se pide calcular
z⎠

razonadamente:
−1

a) La matriz A B − BA

−1

(0’75 puntos)

⎛ 5 2⎞
⎛ 1 −2 ⎞
⎛ 1 2⎞
A=⎜
⎟ ⇒ ( Aij ) = ⎜
⎟ ⇒ (α ij ) = ⎜
⎟ A = 5+ 4 = 9
⎝ −2 1 ⎠⎝2 5 ⎠
⎝ −2 5 ⎠
1
1 ⎛ 1 −2 ⎞
1 ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 3 0 ⎞ 1 ⎛ 1 −6 ⎞
−1
A−1 = (α ij )t = ⎜
⎟⇒ A B= ⎜
⎟⎜
⎟= ⎜
⎟
A
9⎝2 5 ⎠
9 ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ 1 3 ⎠ 9 ⎝11 15 ⎠
⎛ 3 0 ⎞ 1 ⎛ 1 −2 ⎞ 1 ⎛ 3 −6 ⎞
BA−1 = ⎜
⎟ ⎜⎟= ⎜
⎟ y finalmente
⎝ 1 3 ⎠ 9 ⎝ 2 5 ⎠ 9 ⎝ 7 13 ⎠

1 ⎛ 1 −6 ⎞ 1 ⎛ 3 −6 ⎞ 1 ⎛ −2 0 ⎞
A−1 B − BA−1 = ⎜
⎟− ⎜
⎟= ⎜
⎟
9 ⎝11 15 ⎠ 9 ⎝ 7 13 ⎠ 9 ⎝ 4 2 ⎠

TA = BT (1’25 puntos)
⎛ x y ⎞ ⎛ 5 2 ⎞ ⎛5x − 2 y 2 x + y ⎞⎫
⎧ 2 x − 2 y = 0 (1)
⎧5 x − 2 y = 3 x
A=⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟⎪
⎪ 2x − 2 y = 0
⎪2 x + 3 y = 3 y
⎪
⎝ y z ⎠ ⎝ −2 1 ⎠ ⎝ 5 y − 2 z 2 y + z ⎠⎪
⎪
T
⇒⎨
⎬ Igualamos ⎨
3y ⎞ ⎪
⎛ 3 0 ⎞ ⎛ xy ⎞ ⎛ 3x
⎪5 y − 2 z = x + 3 y ⎪ − x + 2 y − 2 z = 0 (2)
BT = ⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟ ⎪
⎪ y − 2 z = 0 (3)
⎪
⎩
⎩2 y + z = y + 3z
⎝ 1 3 ⎠ ⎝ y z ⎠ ⎝ x + 3 y y + 3z ⎠ ⎭

b) Las matrices T que cumplen que sudeterminante es -2 y que

Podemos eliminar la segunda ecuación por ser igual que la primera.

y
= −2 ⇒ xz − y 2 = −2 (4) . De la primera ecuación (1) obtenemos x = y ,
z
de (2) y (3) obtenemosy = 2 z . Sustituimos en (4), operamos y obtenemos z = 1 ó z = −1

Como T = −2, ⇒

x
y

⎛ 2 2⎞
⎛ −2 −2 ⎞
⎟ , si z = −1 ⇒ T = ⎜
⎟
⎝ −2 −1 ⎠
⎝2 1⎠

Si z = 1 ⇒ T = ⎜

2.- Discute yresuelve, cuando sea compatible determinado, el siguiente sistema de acuerdo con
los valores del parámetro m.

⎧5 x + 4 y + 2 z = 0
⎛5 4 2
⎪
⎜
⇒ A' = ⎜ 2 3 1
⎨2 x + 3 y + z = 0
⎪4 x − y + m2 z = m− 1
⎜ 4 −1 m 2
⎝
⎩

0 ⎞
⎟
0 ⎟ , A = 7 m 2 − 7 = 7(m + 1)(m − 1)
m − 1⎟
⎠

A = 0 ⇔ m = 1, m = −1
* Si m ≠ 1

y m ≠ −1 ⇒ A ≠ 0 , ran(A)=3=ran(A’)=nº de incógnitas. Por el teorema de...