Mates Algebrta

Grado en Ciencias Ambientales. Matem´ticas. Curso 11/12 a
Problemas Tema 1. Espacios Vectoriales. 1 Repaso de Estructuras Algebraicas

1.1. Construye expl´ ıcitamente el conjunto A × B, siendo A = {1, 2, 3}, y B = {α, β}. 1.2. Construye algunos ejemplos de relaciones binarias, en particular construye una relaci´n de equivalencia o y una de orden. 1.3. Estudiar las propiedades que verifican lassiguientes relaciones binarias: a) “Ser divisor de” en el conjunto de los n´meros naturales. u b) “Ser cuadrado de” en el conjunto de los n´ meros reales. u c) “Tener el mismo ´rea” en el conjunto de cuadril´teros del plano. a a d) En el conjunto R2 = R × R: (a, b) R (a′ , b′ ) ⇔
a b

=

a′ b′ .

1.4. Se define una correspondencia f entre los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {α, β, γ, δ}mediante el grafo: G = {(1, α), (2, β), (1, δ), (3, γ)}. Estudiar si es aplicaci´n. o 1.5. Se definen las siguientes correspondencias de R en R, estudiar si son aplicaciones y en caso afirmativo determinar el tipo de aplicaci´n. o a) G = {(x, y) ∈ R2 / y = cos x}. b) G = {(x, arctan x), ∀x ∈ R}. c) G = {(x, y) ∈ R2 / y 2 = x}. d) f (x) = x2 , ∀x ∈ R. √ e) g(x) = 1 − x2 . 1.6. Demostrar que lacorrespondencia f (n) = 2n es una aplicaci´n biyectiva del conjunto de los n´meros o u naturales en el de los n´meros naturales pares. ¿ Qu´ consecuencias tiene esto sobre los cardinales de ambos u e conjuntos ?

2

Definici´n de espacio vectorial o

2.1. Demostrar que el conjunto de los n´meros complejos C tiene estructura de espacio vectorial real. u 2.2. Estudiar si el conjunto R2 = R × R tieneestructura de espacio vectorial real con las operaciones de suma y producto por escalar siguientes: a) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ ) y λ(x, y) = (λx, λy). b) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , y + y ′ ) y λ(x, y) = (λx, 0). c) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + y ′ , x′ + y) y λ(x, y) = (λx, λy). d) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′ , 0) y λ(x, y) = (λx, λy). 1

√ √ e) (x, y) + (x′ , y ′ ) = (x + x′, y + y ′ ) y λ(x, y) = ( λx, λy). 2.3. Demostrar que el conjunto Pn [x] de los polinomios de una indeterminada real x de grado menor o igual que n ∈ N es un espacio vectorial real con las operaciones usuales: Suma: (a0 + a1 x + · · · + an xn ) + (b0 + b1 x + · · · + bn xn ) = a0 + b0 + (a1 + b1 )x + · · · + (an + bn )xn . Producto por escalares: λ(a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn ) = λa0 + λa1x + λa2 x2 + · · · + λan xn 2.4. Sea F el conjunto de todas las funciones definidas en el intervalo [0, 1] para las que 2f (0) = f (1). Demostrar que forman un espacio vectorial sobre R. 2.5. Probar que R+ con la operaci´n suma interpretada como el producto de x e y y el producto por escalar o interpretada como la potencia r-´sima de x es un espacio vectorial. e 2.6. Demostrar que el conjunto delas matrices de n´ meros reales de dos filas y dos columnas tiene estructura u de espacio vectorial real con las operaciones siguientes: ( ) ( ) ( ) a b a′ b′ a + a′ b + b′ + = c d c′ d ′ c + c′ d + d′ ( ; λ· ) = ( )

a c

b d

λa λc

λb λd

3

Subespacios vectoriales
a) A = {(2x2 , x2 , x2 + x4 , x4 )/x2 , x4 ∈ R}. b) B = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 /x1 · x2 = 0}. c) C = {(x1 , x2 , x1 ,x2 ) ∈ R4 /x1 = 1}. d) D = {(x1 , x1 , x1 , x1 )/x1 ∈ R}. e) E = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 /2x1 + x4 = 0}. f) F = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 /x2 − 3x3 = 5}. g) G = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 = α, x2 = −α, x3 = 3α, x4 = 7α; α ∈ R}. h) H = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 = α + β, x2 = −α, x3 = 3α − β, x4 = 2α; α, β ∈ R}. i) I = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 = α + 3, x2 = α, x3 = 2α, x4 = −2α; α ∈ R}. j) J ={(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 /x1 − x2 = 2x1 + x4 = 0}.

3.1. Estudiar si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de R4 :

3.2. Sea P3 [x] es espacio vectorial de los polinomios c´bicos. Determinar si los siguientes subconjuntos de u P3 [x] son subespacios vectoriales: a) El conjunto de polinomios p(x) ∈ P3 [x] que verifican p(1) = 0. b) El conjunto de polinomios p(x) ∈ P3 [x] tal que...