mates

En muchos campos del conocimiento humano lestadística, biología. ingeniería
industrial. etc.), con ciel1a frecuencia hay la necesidad de resolver problemas de
optimización a traves de los poderosos conceptos de máximos y mínimos del
cáículo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de la información dada por el conjunto de
datos, en primer lugar, se busca un modelo matemático que seajusta al
comportamiento de los datos. Si el modelo Illatelllático contiene varias variables.
es necesario identific,ar en forma clara las condiciones del problema que aporten
sufic ientes relaciones entre las variables.
Vamos a empezar el capítulo presentando la definición de máximos y mínimos
relativos de una función de n variables. Luego. se establecerán criterios para
determinar lospuntos donde la función tiene un máximo o un mínimo relativo.

.

.

.,~

·tI MAXIMOS y MINIMOS

Sea f: D e lRl. n

->

lRl. una función delinida en el conjunto abierto D.

Definición 1.- Se dice que f presenta un máximo absoluto en el punto Po E Dr.

si fep) ::; f(P o), VP E D, en
máximo absoluto de f.

t caso f(Po) se denomina valor
"0

f

presenta un mínimo absoluto en elpunto Qo E Dr.
si f(Qo) ::; f(Q), VQ E D, en tal caso f(Qo) se denomina valor
mínimo absoluto de f.

Definición 2.- Se diee que

Observación 1.a) Un punto P E D se llama punto extremo, si P corresponde a un máximo o
minimo. Asi, f(P) se denomina valor extremo de f.
b) Como en el caso de funciones de una variable real, no toda función tiene
máximo o minimo absoluto.
Ejemplo 1.- La funciónz = f(x; y) = X2 + (y - 1)2 definida en el conjunto
D = lRl. 2 tíene un mínimo absoluto en Qo(O; 1) Y no presenta máxímo absoluto.
(Fig. 4.1)

z

z

y

y
x

Ejemplo 2.- La función z = fex; y) = 2 - X2 - (y - 2)~ alcanza su valor
máximo en PoCO; 2) Y no tiene mínimo abso ll\to (Fig. 4 .2)

Eje mplo 3.- La función fex;y) =
D = {(x; y) E 1R{2 / X2

xJl-x 2 -y2
y

,con dominio+ y2'~ ¡ y> DI no tiene máximo ni mínimo. pues

para x 1= O fijo se tiene lim [ex; y) = ±oo segú n sea x> O Ó x < O
y-.o+

respecti vamente.
Teorema 1.- Sea D e 1R{" un conjunto cerraJo )""'fieolado, ) ~ea
f: D e IR{ una función continua en D. Entonces, existe al menos un punlO en D
donde f tiene un valor máximo absoluto, y al menos un punto en D donde f
tiene un valor mínimo absoluto.Ejemp lo .t.- La función
,~-----

fex; y)

=

J

z

X2

I

1-

"4 -

y2

es continua en el conju nto cerrado y acotado
D

= {ex;y)

E

1R{2 /

x: +y2

~ l}

El valor máximo abso luto de f oc urre en el
punto (0;0), y su valor minimo abso lut o oc urre
rlg 43

X2

en todo punto de la elípse

"4 + y2

= 1 (FigA.3)

Definición 3.- Se dice que unafunción f: D e JRl.n ~ JRl. definida en el conjunto
abierto D presenta un máximo r~lativo o local en el punto Po E D, si existe una
bola abierta B(Po; E)f: e D, (E> O), tal que

f(P) :s; f(Po),

'v'P E B(Po; E)

en tal caso f(Po) se llama valor máximo relativo o local de f.
Definición 4.- Se o
dice que una función f: D e JRl.n -> iffi. definida en el conjunto
abierto D presenta un mínimorelativo o local en el punto Qo E D, si existe una
bola abierta B(Qo; 8), (8) O), tal que

en tal caso f(Qo) se llama valor mínimo relativo o local de

f.

Observación 2.- Un punto Po E D es un punto de extremo relativo o local , si Po
corresponde a un máximo o mínimo relativo de la función fo

Teorema 2.- Si la función f: D e JRl."

~

lR\ definida en el conjunto abierto Dpresenta un extremo relativo en Po E D Y

8f
_

(Po), (k

0

= 1,2,

o

000'

n) eXisten,

8Xk

entonces

af
aXk

(Po)

= O, 'v'k = 1,2,3,

000'

no

OCc,?o

Oemostración.- Supongamos que f presenta un máximo relativo en Po
entonces existe una bola abielta B(Po; 8) e D tal que

E

D,

f(P) :s; f(Po). 'v'P E B(Po; 8)

Luego, para h > O Y Po + hUk

+ hUk) :s;...