MATES

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS

Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN
En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa
de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F´(x) de
una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de
cambio de una función F´(x) y loque se desea es obtener la función F(x) o la función
original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o
antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o
antiderivada de F´(x).
En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas.
5.1 Integral Indefinida
Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) seexpresa matemáticamente como:

∫ f ( x )dx = F ( x ) + c

(5.1)

El lado izquierdo de la expresión (5.1) se lee: “la integral indefinida de f de x con
respecto a x”. El símbolo

∫

denota una integral mientras que “c” es la constante de

integración.
5.1.1 Reglas básicas de integración
a) Regla 1: La integral de una constante k es:

∫ kdx = kx + c

(5.2)

Ejemplo 5-1. ∫ 5dx = 5x+ c
b) Regla 2: La integral de una potencia es:

1

n
n+1
∫ x dx = n + 1x + c

Ejemplo 5-2.

( n ≠ −1)

(5.3)

1

3
4
∫ x dx = 4 x + c

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

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c) Regla 3: la integral de una función exponencial es:

akx
∫ a dx = k ln a + c
kx

Ejemplo 5-3. ∫ 23x dx =

(5.4)23x
+c
3ln2

d) Regla 4: La integral de una función exponencial natural es:

kx
∫ e dx =

Ejemplo 5-4. ∫ 9e −3x dx = 9 ∫ e −3x dx =

ekx
+c
k

(5.5)

9e −3x
+c
−3

e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es:

1

∫ x dx = ln x + c
Ejemplo 5-5. ∫ 3x −1dx = 3 ∫

(x > 0)

(5.6)

1
dx = 3ln x + c
x

5.1.2 Condiciones iniciales y condiciones de frontera
Enmuchos problemas una condición inicial (y=y0 cuando x=0) o una condición de
frontera (y=y0 cuando x=x0) es dada para determinar la constante de integración, c.
Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si

y = ∫ 2dx = 2x + c
sustituyendo y = 11 cuando x = 3,hallamos el valor de c:
11 = 2(3) + c → c = 5
Por lo tanto, y = 2x + 5. Note que aun cuando c es especificado,

∫ 2dxpermanece

como integral indefinida porque x no esta especificado. Entonces, la integral 2x+5
puede asumirse como un infinito número de valores.
CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

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5.2 Integral Definida
El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral
definida de una funcióncontinua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la
integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la
misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común
a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción
b
b
∫a f(x)dx = F(x) a = F(b) − F(a)

(5.7)

De esta forma, el área bajo de una funcióndesde a hasta b puede ser expresada
como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el
siguiente Gráfico 5-1.
Gráfico 5-1
y

y=f(x)

0

a

b

x

Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener
áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las
integrales definidas permiten obtenervalores numéricos mientras que las integrales
indefinidas solo permiten obtener funciones.
Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1)
4

2 4

4

∫1 10xdx

y (2)

3
3
∫1 (4x + 6x)dx

serán:

= 5(4)2 − 5(1)2 = 75

(1)

∫1 10xdx = 5x

(2)

3
3
4
2
4
3
4
2
∫1 (4x + 6x)dx = ⎡ x + 3x ⎤1 = ⎡(3) + (3) ⎤ − ⎡(1) + 3(1) ⎤ = 104
⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦

1

3

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