mates

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EJERCICIOS RESUELTOS
1

Estudia el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos de la función f (x ) =

3

4 − cos2 x en ]0, 2π[.

Solución:
El dominio de f (x ) es R , por lo tanto existe en ]0, 2π[. Calculamos la primera derivada:

f '(x ) =

2 sen x cos x
3 (4 −
3

cos2 x )2

=

sen 2x
3 (4 − cos2 x )2
3

Como 4 –cos2x ≠ 0 para todo número real, el dominio de f '(x ) es R , por lo tanto también existe en ]0, 2π[.
Estudiamos ahora el signo de f '(x), que es el de sen 2x
sen 2x = 0 ⇒ x 1 = 0, x 2 =

3π
π
, x 3 = π, x 4 =
y x 5 = 2π en [0, 2π ]
2
2

consecuentemente:

+

Signo de f '(x)
0

+

−
π/2

π

−
3π/2

2π

⎤ π ⎡ ⎤ 3π
⎤ π ⎡ ⎤ 3π ⎡
⎡
y f (x ) es creciente en ⎥ 0, ⎢ ∪ ⎥π,
⎢ y decreciente en ⎥ 2 , π ⎢ ∪ ⎥ 2 , 2π ⎢ .
2
2
⎦
⎣ ⎦
⎦
⎣ ⎦
⎣
⎣
Del estudio de la monotonía de f (x ) (signo de f '(x )) se deduce que tiene máximo relativo en x =
mo relativo en x = π. Los dos máximos tienen el mismo valor que es

2

Representa gráficamente la función y =

3

π
3π
yx=
y míni2
2

4 y el valor del mínimo es

3

3.

x2 − 1
.
x

Solución:
Antesde representarla haremos el estudio de la función que comprende los siguientes puntos:
1. Dominio.
Para que la función exista se necesita que x 2 – 1 ≥ 0 y x ≠ 0.
Por tanto: D (f ) = ]– ∞, –1] ∪ [1, + ∞[
2. Asíntotas.
a) Horizontales :
por la izquierda: lim

x2 −1
= − 1 ⇒ y = − 1 es asíntota horizontal por la izquierda
x

por la derecha:

x2 −1
= 1 ⇒ y = 1 es asíntota horizontal porla derecha.
x

x →−∞

lim

x →+∞

b) Verticales. No tiene porque la función no tiende a infinito para valores finitos de x.
c) Oblicuas. No tiene por tener asíntota horizontal por la izquierda y por la derecha.
Tema 8. Aplicaciones de la derivada

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EJERCICIOS RESUELTOS
3. Puntos de corte con los ejes.
a) Con OX

x2 −1
⎧ x = −1 ⇒ ( − 1, 0)
= 0 ⇒ x 2 −1= 0 ⇒ ⎨
x
⎩ x = 1 ⇒ (1, 0)
b) Con OY no puede tener pues 0 ∉ D(f ).
4. Simetrías.
( − x )2 − 1
x2 −1
=−
= –f (x ), la función es impar y la curva es simétrica respecto del origen de
−x
x

Como f (–x ) =
coordenadas.

5. Crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos.
Estudiamos el signo de la primera derivada.
2x
x − x2 −1
2 −1
x 2 − ( x 2 − 1)
1
2x
y'=
=
=
⇒ y ≠ 0, luego no hay ni máximo ni mínimos
2
2
2
2
x
x
x −1 x
x2 −1

+

Signo de y'

]

−1

+

[
1

Es creciente en todo su dominio.
6. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
Estudiamos el signo de la segunda derivada
⎡
⎤
2x
− ⎢ 2x x 2 − 1 + x 2
⎥
2
3
2
− 3 x 3 + 2x
− 3x 2 + 2
x
−
2
1
⎦ = − 2x ( x − 1) − x =
=
y '' = ⎣
2
x 4 ( x 2 −1) x 2 − 1 x 4 ( x 2 − 1) x 2 − 1 x 3 ( x 2 − 1) x 2 − 1
x2 x2 − 1

(

)

y '' = 0 ⇒ –3x 2 + 2 = 0 ⇒ x = ±

3
, ninguno de los dos valores pertenece al dominio de la función. Por tanto:
2

+

Signo de y''

]

−1

−

[
1

Es cóncava en ]– ∞, –1[. Es convexa en ]1, +∞[. No tiene puntos de inflexión.
7. Tabla de sistematización.
x

–∞

–1

1

+∞

f (x )

–10

0

1

f'

+

+

f ''

+

–

Su gráfica es:

1

−1

f

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Y

O

1
−1

2

3

X

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3

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Representa gráficamente la función y = x 2 +

1
, llamada «Tridente de Newton».
x

Solución:
Esta función también se puede expresar como y =

x3 +1
, expresiones que utilizaremos indistintamente para su
xestudio.
1. Dominio.
D (f ) = R – {0}
2. Asíntotas.
a) Horizontales no tiene pues

lim

x →−∞

x3 + 1
x3 + 1
= lim
= +∞
x →−∞
x
x

b) Verticales. Sólo puede ser la recta x = 0. Veamos los límites laterales
lim

x → 0−

x3 + 1
= −∞ y
x

lim

x → 0+

x3 + 1
= +∞ ; luego x = 0 es una asíntota vertical.
x

c) Oblicuas

x3 + 1
= −∞ ⇒ no tiene; por la derecha:
x...