Matrices

Operaciones con matrices
Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como:A+B=(aij+bij).

La matriz suma se obtienen sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:
A +(B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:
A + (−A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:
A + B = B + A
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real poruna matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)

Propiedades
a ·  (b · A) = (a · b) · A  A  Mmxn, a, b 
a  ·  (A + B) = a · A + a · B A,B  Mmxn , a  
(a + b) · A = a · A + b · A  A  Mmxn , a, b  
1 · A = A  A  Mmxn

Multiplicación de matrices

Dos matrices A y B son multiplicables si el número de columnas de A coincide conelnúmero de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades de la multiplicación de matrices

Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que lamatriz A.

No es Conmutativa:
A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:
A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa
El producto de una matriz por su inversa es igual al matriz identidad.
A · A-1  = A-1 · A = I

Se puede calcular la matriz inversa por dos métodos:

1º. Cálculo de la matriz inversa pòr determinantes

Ejemplo

1. Calculamos el determinante de lamatriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

2º. Cálculo de la matriz inversa por el método deGauss
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamosa transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
F2 - F1 F3 + F2


F2 - F3 F1 + F2


(-1) F2

La matriz inversa es:

Propiedades de la matriz inversa
(A · B)-1  = B-1 · A-1
(A-1)-1  = A
(k · A)-1  = k-1 · A-1
(A t)-1  = (A -1)t

Matriz traspuestaDada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt
(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At

Determinantes

A cada matriz cuadrada A se le asocia un número denominado determinante de A.
El determinante de A se denota por |A| o por det (A).
A = 

Determinante de orden uno
|a 11| = a 11|5| = 5

Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:
=
= a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -
- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
=
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =
= 24 + 20 + 0 -...