Matrices

Matrices
Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales o representar una aplicación lineal(dada una base). 
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar loscoeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Tipos de matrices:

1. Matriz fila:
Es aquellamatriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n



2. Matriz columna:
La matriz columna tiene una sola columna.

3. Matriz cuadrada:
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.


4. Matriz diagonal:
Es una matriz cuadrada en que lasentradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

Ejemplos:
5.
6.
Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.
Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

a. Operaciones matriciales:
Las operacionesde suma y producto de matrices son especialmente sencillos para matrices diagonales. Vamos a emplear aquí la notación de diag(a1,...,an) para una matriz diagonal que tiene las entradas a1,...,an en la diagonal principal, empezando en la esquina superior izquierda. Entonces, para la suma se tiene:
diag(a1,...,an) + diag(b1,...,bn) = diag(a1+b1,...,an+bn)

y para el producto de matrices,diag(a1,...,an) · diag(b1,...,bn) = diag(a1b1,...,anbn).

La matriz diagonal diag(a1,...,an) es invertible si y sólo si las entradas a1,...,an son todas distintas de 0. En este caso, se tiene
diag(a1,...,an)-1 = diag(a1-1,...,an-1).

En particular, las matrices diagonales forman un subanillo del anillo de las matrices de n×n.

Multiplicar la matriz A por la izquierda con diag(a1,...,an) equivale amultiplicar la fila i-ésima de A por ai para todo i. Multiplicar la matriz A por la derecha con diag(a1,...,an) equivale a multiplicar la columna i-ésima de A por ai para todo i.
Usos:
Las matrices diagonales tienen lugar en muchas áreas del álgebra lineal. Debido a la sencillez de las operaciones con matrices diagonales y el cálculo de su determinante y de sus valores y vectores propios,siempre es deseable representar una matriz dada o transformación lineal como una matriz diagonal.
De hecho, una matriz dada de n×n es similar a una matriz diagonal si y sólo si tienen auto vectores linealmente independientes. Tales matrices se dicen diagonalizables.
En el cuerpo de los números reales o complejos existen más propiedades: toda matriz normal es similar a una matriz diagonal (véaseteorema espectral) y toda matriz es equivalente a una matriz diagonal con entradas no negativas.

5. Matriz escalar:
Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

6. Matriz identidad:
Es una matriz que cumple la propiedad de ser el elemento neutro del producto de matrices. Esto quiere decir que el producto de cualquier matriz por la matriz identidad (dondedicho producto esté definido) no tiene ningún efecto. La columna i-ésima de una matriz identidad es el vector unitario e_i \, de una base vectorial inmersa en un espacio Euclídeo de dimensión n. Toda matriz representa una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. La matriz identidad se llama así porque representa a la aplicación identidad que va de un espacio...