matrices

MATRICES
Ejercicio 1
Sean las matrices:

⎛ −1 2 3 ⎞
A = ⎜ 0 3 −1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 2 −2 5 ⎠
⎛ 0 4 −2 ⎞
B = ⎜ 2 −1 3 ⎟
⎜
⎟
⎝ 3 2 4 ⎠
⎛ −2 3 −1 ⎞
C = ⎜ 0 −1 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ 1 0 0 ⎠
Calcúlese A 2 + AC − BA − BC

⎛ −1 2 3 ⎞ ⎛ −1 2 3 ⎞ ⎛ 7 −2 10 ⎞
A = ⎜ 0 3 −1 ⎟ * ⎜ 0 3 −1 ⎟ = ⎜ −2 11 −8 ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 2 −2 5 ⎠ ⎝ 2 −2 5 ⎠ ⎝ 8 −12 33 ⎠
2

⎛ −1 2 3 ⎞ ⎛ −2 2 −1 ⎞ ⎛ 5 −4 5
AC = ⎜ 0 3 −1 ⎟* ⎜ 0 −1 2 ⎟ = ⎜ −1 −3 6
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ 2 −2 5 ⎠ ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝ 1 6 −6

⎞
⎟
⎟
⎠

⎛ 0 4 −2
BA = ⎜ 2 −1 3
⎜
⎝ 3 2 −4

⎞ ⎛ −1 2 3 ⎞ ⎛ −4 16 −14 ⎞
⎟ * ⎜ 0 3 −1 ⎟ = ⎜ 4 −5 22 ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎠ ⎝ 2 −2 5 ⎠ ⎝ −11 20 −13 ⎠

⎛ 0 4 −2
BC = ⎜ 2 −1 3
⎜
⎝ 3 2 −4

⎞ ⎛ −2 2 −1 ⎞ ⎛ −2 −4 8 ⎞
⎟ * ⎜ 0 −1 2 ⎟ = ⎜ −1 5 −4 ⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1 ⎠
⎠ ⎝ 1 0 0 ⎠ ⎝ −10 4

A 2 + AC + BA + BC =
⎛ 7 −2 10 ⎞⎛ 5 −4 5
⎜ −2 11 −8 ⎟ + ⎜ −1 −3 6
⎜
⎟ ⎜
⎝ 8 −12 33 ⎠ ⎝ 1 6 −6

⎞ ⎛ −4 16 −14 ⎞ ⎛ −2 −4 8 ⎞
⎟ − ⎜ 4 −5 22 ⎟ − ⎜ −1 5 −4 ⎟ =
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1 ⎠
⎠ ⎝ −11 20 −13 ⎠ ⎝ −10 4

⎛ 12 −6 15 ⎞ ⎛ −4 16 −14 ⎞ ⎛ −2 −4 8 ⎞
⎜ −3 8 −2 ⎟ − ⎜ 4 −5 22 ⎟ − ⎜ −1 5 −4 ⎟ =
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1 ⎠
⎝ 9 −6 27 ⎠ ⎝ −11 20 −13 ⎠ ⎝ 10 4

⎛ 16 −22 29 ⎞ ⎛ 2
4 −8 ⎞
⎜ −7 13 −24 ⎟ + ⎜ 1 −5 4 ⎟ =
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 30 −26 40 ⎠ ⎝−10 −4 −1 ⎠
⎛ 18 −18 21 ⎞
⎜ −6 8 −20 ⎟
⎜
⎟
⎝ 20 −30 39 ⎠

Ejercicio 2
Sea Μ 2 x 2 el conjunto de matrices cuadradas de orden 2, y S el subconjunto formado por
las matrices que tengan nulos los elementos de la diagonal principal.
a) Pruebe que Μ 2 x 2 es espacio vectorial real.
Para probar que Μ 2 x 2 es un espacio vectorial real son necesarios 2 requisitos:
- Definir la suma para lasmatrices Μ 2 x 2 y ver que {Μ 2 x 2 , +} es un grupo abeliano.
- Definir el producto real de número real por matriz del conjunto Μ 2 x 2 y comprobar que
cumple los requisitos de escalar por vector.
Para la primera comprobación basta ver como se define la suma de matrices. Sean A y B
dos matrices pertenecientes al conjunto Μ 2 x 2

⎛ a11 a12
⎜
⎜ a21 a22
⎝

⎞ ⎛ b11 b12
⎟ +⎜
⎟ ⎜ b21 b22
⎠⎝

⎞ ⎛ a11 + b11 a12 + b12
⎟ =⎜
⎟ ⎜ a21 + b21 a22 + b22
⎠ ⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

Resulta inmediato ver que esta suma es asociativa, que existe elemento neutro (la matriz
con todo 0), que toda matriz lleva otra asociada que es aquella con el opuesto de cada
término individual ( oij = −aij ) y que la suma es conmutativa. Por tanto el conjunto Μ 2 x 2 es
un grupo abeliano respecto a la suma.
Parala segunda condición definimo el producto de un número real por una matriz
perteneciente al conjunto Μ 2 x 2 como la matriz que resulta al multiplicar el número real por
cada una de las componentes de la matriz:

⎛ ka11
kA= ⎜
⎜ ka21
⎝
Este producto debe cumplir cuatro propiedades:
1) k(A + B) = kA + kB
2) (ki + k j )A = ki A + k j A

ka12 ⎞
⎟
ka22 ⎟
⎠

3) ki ⋅ k j A = (ki ⋅ k j )⋅ A = ki ⋅ (k j ⋅ A)
4) 1⋅ A = A
Demostraremos la propiedad 2, pues el resto se hacen de forma análoga.

(k1 + k2 ) ⋅ A =
⎛ (k1 + k2 ) ⋅ a11 (k1 + k2 ) ⋅ a12
⎜
⎜ (k1 + k2 ) ⋅ a21 (k1 + k2 ) ⋅ a22
⎝
⎛ k1 ⋅ a11
⎜
⎜ k1 ⋅ a21
⎝

⎞
⎟=
⎟
⎠

k1 ⋅ a12 ⎞ ⎛ k2 ⋅ a11
⎟ +⎜
k1 ⋅ a22 ⎟ ⎜ k2 ⋅ a21
⎠ ⎝

k2 ⋅ a12 ⎞
⎟=
k2 ⋅ a22 ⎟
⎠

k1 A + k2 A
b) Dése la base canónica de Μ 2 x 2
Labase canónica para el conjunto de matrices Μ 2 x 2 ha de cumplir:
1) Generar todo el espacio de matrices 2x2.
2) Ser linealmente independiente.
Cabe destacar que los espacios vectoriales de matrices de la forma M nxm tiene dimension

n ⋅ m . De esta forma nuestro espacio vectorial ha de tener dimensión 4 y por tanto 4
elementos.
⎧⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞ ⎫
⎪
⎪
B = ⎨⎜
⎟ ,⎜ 0 0 ⎟ ,⎜ 10 ⎟ ,⎜ 0 1 ⎟ ⎬
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠⎭
⎪
⎪
⎩⎝ 0 0 ⎠ ⎝
c) Pruébese que S es un subespacio vectorial.
En primer lugar definimos como es el subespacio S:

⎧⎛ a
a12
⎪
11
S = ⎨⎜
a
⎪⎜ a
⎩⎝ 21 22

⎫
⎞
⎪
∈M 2 / a11 = a22 = 0 ⎬
⎟
⎟
⎠
⎪
⎭

Para comprobar que es subespacio debe de cumplir que dados dos elementos
pertenecientes a S se verifique:

λ A + β B ∈S
Sean:

⎛ 0 a12
A=⎜...