Matrices

Transformaciones lineales


1. Determine si las siguientes aplicaciones son o no lineales. Justifique su respuesta:
a) T
b) T :T(x, y) = (2x – y, x)
c) T :T(x, y, z) = y, z – x + 3)
d) T :
e) T : T(x, y) = xy
f) T : T(v) = -v
g) T : T(v) = v + (0, -1, 0)

2. Demuestre que F : definida por F(x, y) = (ax + by, cx + dy), donde a, b, c, d , es una aplicaciónlineal.

3. Determine si las siguientes aplicaciones de en son o no lineales

a) b)

c) d)

4. Sea B una matriz real de orden n y consideremos la función definida por T(A) = AB. Demuestre que T es una transformación lineal.

5. Sean V, W espacios vectoriales sobre y T : transformación lineal. Demuestre que T(0) = 0 y, mediante un ejemplo, muestreque T(0) = 0 no es una condición suficiente para que T sea una transformación lineal.

6. Sea V espacio vectorial sobre y sean f, g funciones lineales de V en . Definamos T : por T(v) = ( f(v), g(v) ). Demuestre que T es una transformación lineal y determine Ker T.

7. Sea T : aplicación lineal y sea un conjunto tal que es linealmente independiente. Demuestre que eslinealmente independiente.

8. Sea T : aplicación lineal y sea un conjunto linealmente independiente. Si T es inyectiva, demuestre que es linealmente independiente.

9. Sea T : transformación lineal tal que T(1, 2) = (-1, 5) y T(-1, -3) = (2, 4).
Calcule T(1, 0), T(0, 1) y encuentre una expresión para T(a, b), con (a, b) .

10. Encuentre una transformación lineal F : talque F(1, 0, -1) = 2 – x, F(0, 2, 1) = 1 + x y F(1, 3, 1) = 3x –2.

11. Decida si las siguientes funciones son o no aplicaciones lineales. Para las que sean lineales, determine el núcleo y la imagen.
a) T : T(x, y) = x – y + xy
b) T :
c) T : T(x, y, z) = (x – z, 2y + x)
d) T : T(A) = det(A)
e) T :
f) T :
g) T :
12. Encuentre bases para Ker T (núcleo de T) e Im T(imagen de T) para cada una de las siguientes aplicaciones lineales. Verifique que dim V = .
a) T : T(x, y, z) = (x, 2x + y, 0)
b) T : T(a, b, c) = a – 3b + 4c
c) T : T(x, y, z) = (2x – y, x – 2y + z, x + z)
d) T : (a – c, b + c – d)
e) T : T(A) = tr (A)
f) T :
g) T : 2a + cx
h) T :

13. Considere la aplicación lineal T : tal que T( p(x) ) = x p(x).
a) Cuálesde los siguientes vectores pertenecen al núcleo de T:
p(x) = q(x) = 0 r(x) = 1 + x
b) Cuáles de los siguientes vectores pertenecen a la imagen de T:
q(x) = 1 + x r(x) = .

14. Encuentre aplicaciones lineales T y R de en tales que
Ker T = < { (-1, 1, 0) } > y Ker R = < { (1, 1, 1), (0, 0, 1) } >

15. Encuentre una aplicación lineal T de ental que la imagen de T esté generada por { (1, 1, 0), (2, 0, 1) }

16. Si T : es una transformación lineal epiyectiva y si dim V = n, demuestre que T es inyectiva.

17. Sea y F : dada por F(A) = AP – PA. Determine la dimensión del núcleo de F.

18. Sea y T : dada por T(A) = MA. Determine Ker(T), Im(T), nulidad y rango de T.

19. Sea TL(V,W) y S subespacio de V. Sedefine “la restricción de T a S” denotada TS, por TS(x) = T(x); xS. Demuestre que :
a) TS es transformación lineal.
b) Ker(TS) = (KerT)S.
c) Im(TS) = T(S)
20. Sea T : transformación lineal y una base de V. Si , demuestre que Ker T = V..

21. Sea T : transformación lineal y base de V. Si , demuestre que (aplicación identidad de V).

22. Sea T : aplicaciónlineal. Sea y tal que . Muestre que cualquier solución de la ecuación T(x) = w es del tipo , con .

23. Sean V, W espacios vectoriales sobre el cuerpo y denotemos por L(V, W) el conjunto de todas las aplicaciones lineales de V en W. Si T, S L(V, W) y demuestre que T + S L(V, W) y L(V, W), en donde, T + S y se definen así:
(T + S) (v) = T(v) + S(v) y...