matrices

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS LINEALES
1. Dado el sistema de ecuaciones lineales:

⎫
2x + 3y = 3⎪
⎬

⎪
4x +5y = 6⎭

a) Escribir la expresión matricial del sistema.b) Discutir el sistema.
c) Resolver el sistema por el método de Gauss.
d) Estudiar si el sistema es de Cramer, y en caso afirmativo, calcular su solución matricialmente y
por la regla de Cramer.
Solución
a)

⎛ 2 3⎞ ⎛ x ⎞
⎛3⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟= ⎜ ⎟
⎝ 4 5⎠ ⎝ y ⎠
⎝6⎠

b) Escribimos la matriz ampliada del sistema dado y la escalonamos mediante operaciones
elementales por filas. Observar que eneste proceso también se escalona A.
⎛ 2 3 | 3 ⎞ F2→F2 - 2 F1 ⎛ 2 3 | 3 ⎞
(A|B) = ⎜
≈
⎟
⎜
⎟ ⇒ rg A = 2 = rg(A|B) = nº de incógnitas
⎝4 5 | 6⎠
⎝ 0 −1 | 0 ⎠

Aplicando el teorema de Rouche-Frobenius se deduce que el sistema es compatible determinado, es
decir, tiene una única solución.
⎫
2x+3y = 3⎪
⎛ 2 3 | 3⎞
⎬ es equivalente al inicial.
c) Teniendo en cuenta que (A|B) ≈ ⎜
⎟ , elsistema
⎪
-y = 0⎭
⎝ 0 −1 | 0 ⎠

De la segunda ecuación se obtiene y = 0, y sustituyendo en la primera 2x + 3.0 = 3, por tanto,
x=

3
2

Luego la solución del sistema es x =

3
, y=0
2

d) Como A es cuadrada y A =10–12 = -2 ≠ 0, el sistema dado es un sistema de Cramer y lo

podemos resolver bien por cálculo matricial o bien por la regla de Cramer.
Cálculo matricial
⎛x⎞
⎛ 2 3 ⎞ -1 ⎛3 ⎞
X = A-1B, es decir, ⎜ ⎟ = ⎜
⎟ ⎜ ⎟
⎝y ⎠
⎝ 4 5⎠ ⎝6 ⎠

Hallamos A-1 mediante operaciones elementales:

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Unidad didáctica 6. Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

⎛ 2 3 | 1 0 ⎞ F2→ F2 -2 F1 ⎛ 2 3 | 1 0 ⎞ F1→ F1+3 F2 ⎛ 2 0 | −5 3 ⎞ F1→1/2 F1
≈
≈
≈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝ 4 5 | 0 1⎠
⎝ 0 −1 | −2 1 ⎠
⎝ 0 −1 | −2 1 ⎠

⎛ 1 0 | −5 / 2 3 / 2 ⎞ F2→ -F2 ⎛ 1 0 | −5 / 2 3 / 2 ⎞
≈
⎜
⎟
⎜
⎟
1 ⎠
2
−2
−1 ⎠
⎝ 0 −1 |
⎝0 1 |
⎛x⎞
⎛ −5 / 2 3 / 2 ⎞
⎛ −5 / 2 3 / 2 ⎞
Entonces A-1 = ⎜
⎟ y por tanto ⎜ ⎟ = ⎜
⎟
−1 ⎠
−1 ⎠
⎝y ⎠
⎝ 2
⎝ 2

⎛ 3 ⎞ ⎛ (-5/2).3+(3/2).6 ⎞
⎜ ⎟ = ⎝ 2.3 +(-1).6 ⎠
⎝6⎠

3/2 ⎞
=⎛
⎝ 0⎠

3
, y = 0.
2

La solución del sistema es x =
Regla de Cramer

x=

⎪3 3⎪
⎪
⎪
⎪6 5⎪
-2

2 3

=

-3
3
=
,
-2
2

4 6
−2

y=

=

0
= 0
-2

x + y − z = 0⎫
⎪
2. Discutir y resolver el sistema homogéneo: x − 2y + z = 0 ⎬
2x − y = 0⎪
⎭

Solución

Por ser un sistema homogéneo es compatible. Calculamos el rango de A paradeterminar el número
de soluciones que posee.
⎛ 1 1 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 −2 1 ⎟ F2→ F2 - F1
⎜ 2 −1 0 ⎟
⎝
⎠

,

F3→ F3 - 2 F1

≈

⎛ 1 1 −1 ⎞
⎜
⎟ F3→ F3 + F2
≈
⎜ 0 −3 2 ⎟
⎜ 0 3 −2 ⎟
⎝
⎠

⎛ 1 1 −1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −3 2 ⎟
⎜0 0 0⎟
⎝
⎠

Así, rgA = 2, por tanto el sistema es compatible indeterminado, es decir, tiene infinitas soluciones.
El grado de indeterminación de sistema es 3 – rgA = 3- 2 = 1, por lo que la solución dependerá de
un parámetro .
Para calcular la solución del sistema dado se resuelve el sistema equivalente asociado a la matriz
x + y − z = 0⎫
escalonada que es
⎬
−3y + 2 z = 0⎭
De la última ecuación se obtiene 3y = 2z , luego, y =

Sustituyendo en la primera, x +

2z
3

z
z
2z
-z=x= 0, luego x =
3
3
3

Por lo tanto, las soluciones del sistemaes x =

2z
z
, y=
, z un número real cualquiera.
3
3

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Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

x + y + 2 z + 3t = −1⎫
⎪
− x − 2y − 3z − 4t = 0⎪
3. Dado el...