Matrices

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

Temas y Actividades
Matemática

Matemática

4° año secundario

Aplicaciones de las matrices en diferentes
situaciones
En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías:
infantiles, cadetes y juveniles.
El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al
número de cadetes y por otra, coincide conel quíntuplo del número de juveniles.
Determiná el número de atletas que hay en cada categoría.
Solución:
Llamamos: x al número de atletas infantiles,
y al número de atletas cadetes,
z al número de atletas juveniles

 x + y + z = 50 E1 
 x + y + z = 50 E1 
 
 


Se verifica 2 x = y + 1  E 2  ⇒  y = 2 x + 1  E 2 
2 x = 5 z
E 

E 
2

 3
 3
z = x
5

si sustituimos en la primera

ecuación la “y” y la “z” en función de “x” obtenemos

x + 2x − 1 +

2
x = 50
5

x =15, sustituyendo se obtiene y = 29, z =6
Nota: también lo podríamos resolver aplicando el método de Gauss.
Se trata de conseguir una matriz triangular inferior de más fácil resolución...

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1

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1 1
1 50 
 x + y + z = 50 E1 


 

El sistema es 2 x = y + 1  E 2  ⇒La matriz es  2 − 1 0 1  E3-E2 (para
2 0 − 5 0 
2 x = 5 z
E 

 3


1 1
1 50 


lograr el “0” en la ecuación (2)) ⇒  0 − 1 5 1  → E3 -2.E1 ( para lograr el “0” de
2 0 − 5 0 


1 1
1 50 


la E3) →  0 − 1 5 1  →E3-2.E2 para el segundo “0”de la E3→
 0 − 2 − 7 − 100 


1 1
1 50 
 x + y + z = 50



1  resulta el sistema equivalente − y + 5 z = 1 ⇒resolvemos
0 −1 5
 0 0 − 17 − 102 
17 z = 102



cada una de las ecuaciones:

102
⇒ z=6
que
reemplazamos
en
la
ecuación
17
− y + 5 z = 1 ⇒ − y + 5.6 = 1 ⇒ 30 − 1 = y → 29 = y ambos resultados los empleamos
en la primera:
x + y + z = 50 → x + 29+ 6 = 50 → x = 50 − 29 − 6 → x = 15
17 z = 102 ⇒ z =

Te sugerimos comprobar los resultados, reemplazando cada variable por el valor
obtenido.
Otra situación:

Encontrá los valores de a para que la siguiente matriz

2 1 4


A =  3 5 7  no sea
1 4 a



inversible y hallá la inversa para a =1.
Solución:
Para que sea no inversible el determinante debe dar 0. Entoncesprocedamos a
calcular el determinante:
2 1 4

det( A) = 3 5 7
= (2.5.a+3.4.4+1.7.1)- (1.5.4+3.1.a+4.7.2) = 0⇒
1 4 a

⇒(10.a+48+7)- (20+3a+56)=0⇒7a-21=0⇒a=3
Ahora calculemos la inversa para a =1,

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2

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 2 1 4


Ahora calculá el determinante de la matriz A =  3 5 7  .
1 4 1

¡Por favor no hagas trampa!
Debería darte -14
 − 23 + 4 7 


adj ( A) t
sería
La adjunta es  + 15 − 2 − 7  en consecuencia A-1=
det(
A
)
 − 13 − 2 7 


t

 − 23 + 4 7 


 + 15 − 2 − 7 
 − 13 − 2 7 
 ⇒ A −1 =
A −1 = 
− 14

 − 23 15 − 13 


 23
−2 −2

 4
 14
 7

−
7
7

 ⇒ A −1 =  − 2
 7
− 14
 1
−
 2

−

15
14
1
71
2

13 

14 
1 
14 
1
− 
2

Comprobá el resultado multiplicando A por su inversa, A-1, y deberías obtener la
matriz identidad. (A.A-1 =I).
Otro modelito de ejercicio:
Calculá la matriz X tal que X.A-2B=C, donde

,

y

Solución:
 − 1 3
 0 1  − 1 0 
 =2. 
 + 
X. 
 ⇒

 2 5
 1 1  3 − 1
−1
 − 1 3  0 2   − 1 0 
 − 1 3  − 1 2  − 1 2   − 1 3
 = 
 + 
 ⇒X. 
 = 
 ⇒X= 
 

X 
 2 5   2 2   3 − 1
 2 5  5 1 
 5 1   2 5

X.A-2B =C

X.A=2B+C

Buscá la inversa de la matriz A por el método que más te guste, resolvé esta
cuestión antes de seguir,
− 5 3 
 debería ser tu resultado, entonces ahora resolvé el producto
La A −1 = 
 2 − 1
 −1 2  − 5 3 
...