Matrices

1.-Cocepto de matriz
Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma

La matriz anterior se denota también por (ai j), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (ai j).
Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m ð n.
Las matrices se denotarán usualmentepor letras mayúsculas, A, B,..., y los elementos de las mismas por minúsculas, a, b,...
Ejemplo:

Donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus

2.-Matrices especiales
* Matriz fila
Una matriz fila está constituida por una sola fila.

* Matriz Columna
La matriz columna tiene una sola columna

* Matriz cuadrada
Una matriz cuadrada es la que tiene el mismo número de filas quede columnas. Se dice que una matriz cuadrada n ð n es de orden n y se denomina matriz n-cuadrada.

Ejemplo: Sean las matrices

Entonces, A y B son matrices cuadradas de orden 3 y 2 respectivamente.

* Matriz traspuesta
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A
(A + B)t = At + Bt(α ·A)t = α· At
(A ·  B)t = Bt · At
* Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

3.-Matriz inversa
Se dice que una matriz cuadrada A es inversa, si existe una matriz B con la propiedad de que
AB = BA = I
Siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo:Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

* Método de Gauss Jordán
Sea A = (ai j) una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
Paso 1. Construir la matriz n ð 2n M = (AI) esto es, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Paso 2. Sedeja tal y como está la primera fila de M, y debajo del primer término de la diagonal principal, a11, que llamaremos pivote, ponemos ceros. Luego se opera como se indica en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Consideremos una matriz 3 ð 3 arbitraria

Paso 1.

Paso 2.

El siguiente paso es igual que el anterior, pero esta vez se escoge como pivote el segundo término de la diagonal principal.Al llegar al último término de la diagonal, se procede igual que antes, pero poniendo los ceros encima del nuevo pivote. Se observa que al escoger como pivote el último término de la diagonal, la matriz A se transforma en una matriz triangular.
Una vez realizados todos los pasos, la mitad izquierda de la matriz M se convierte en una matriz diagonal. En este momento hay que proceder a transformar,si es que no lo está, la mitad izquierda en la matriz identidad, dividiendo si fuera necesario las filas de M por un escalar.
Ejemplo:
Supongamos que queremos encontrar la inversa de

Primero construimos la matriz M = (AI),

La mitad izquierda de M está en forma triangular, por consiguiente, A es invertible. Si hubiera quedado toda una fila con ceros en la mitad A de M, la operación habríaterminado (A no es invertible).
A continuación, escogemos como pivote a33, ponemos ceros encima de éste y seguimos operando hasta que nos quede una matriz diagonal.

Ya que la matriz colocada en la mitad izquierda es diagonal, no hay que operar más. Transformamos la matriz diagonal en una matriz identidad; para ello hay que dividir la segunda fila entre -1:

La matriz que ha quedado en lamitad derecha de M es precisamente la matriz inversa de A:

Para comprobar si el resultado es correcto, se procede a multiplicar AA-1, teniendo que dar como resultado la matriz identidad I.
Comprobación:
AA-1 = I

4.-Determinantes de una matriz
A cada matriz n-cuadrada A = (ai j) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por det (A), | A | o

Una tabla...